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Assunto

Existem diversos procedimentos para a análise e dimensionamento de lajes em concreto armado. Dentre os vários  disponíveis estão a teoria elástica, a teoria da análise limite e as modificações da teoria da análise limite. Esses procedimentos podem ser usados para determinar os deslocamentos e os esforços nas lajes e nos elementos de apoio, bem como determinar a capacidade de carga última da laje.

Neste artigo, serão apresentados alguns fundamentos sobre o método da análise de lajes pela teoria elástica, fornecendo parâmetros para validação dos processos utilizados pelo AltoQi Eberick. Serão feitos também alguns comentários sobre tabelas e sobre o Método dos Elementos Finitos. A intenção é apresentar apenas uma introdução e preparar o leitor para a pesquisa sobre o assunto em bibliografias mais especializadas.

Artigo

Teoria das placas em regime elástico

A Teoria da Elasticidade, na qual baseou-se inicialmente o cálculo de placas, é, como o nome diz, uma teoria elástica, cujas hipóteses básicas variam de acordo com o tipo de placa considerada. No caso de placas de pouca espessura, como é o caso da maioria das lajes de edifícios, as hipóteses básicas, conforme TIMOSHENKO, S.P. & WOINOWSKY-KRIEGER, S. (1959) e SZILARD, Rudolph (1974) são as seguintes:

  • o material da placa é elástico, homogêneo e isotrópico;

  • a placa indeformada é plana;

  • a espessura (h) da placa é pequena em relação às outras dimensões (da ordem de 1/10);

  • as deformações angulares da superfície média são pequenas comparadas à unidade;

  • os deslocamentos dos pontos da superfície média são pequenos comparados com a espessura da placa (inferiores a 1/10, para que se possa considerar pequenas deformações);

  • as cargas dinâmicas ou estáticas são aplicadas perpendicularmente à superfície da placa;

  • a configuração deformada da placa é tal que linhas retas inicialmente perpendiculares à superfície média permanecem retas e perpendiculares;

  • as deformações devidas ao cisalhamento são desprezadas;

  • a deformação da placa é produzida por deslocamentos dos pontos da superfície média perpendicular ao plano indeformado;

  • as tensões normais à superfície média são desprezíveis em relação às tensões no mesmo plano.

Usando-se estas hipóteses e considerando-se um elemento de placa de dimensões dx e dy, submetido a uma carga distribuída q, o equilíbrio é obtido a partir dos esforços internos atuantes: momentos fletores Mx e My , momentos de torção Mxy e Myx  e esforços cortantes Qx e Qy , atuando nas faces do elemento.

Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(a)_Eb

Figura 1 – Momentos fletores e de torção em um elemento de placa

Obtêm-se as seguintes equações, conhecidas como equações diferenciais das placas em regime elástico:

Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(b)_Eb.

  onde:  q = carga distribuída na placa por unidade de área

            E = módulo de elasticidade do material da placa (módulo de Young)

            h = espessura da placa

           Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(bb)_Eb = coeficiente de Poisson    

            D =  rigidez da placa, dada por:

                   Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(c)_Eb.

A equação 1 é a equação diferencial das placas ou equação de Lagrange, em coordenadas cartesianas retangulares. Ela define o campo de deslocamentos da placa (variável w) em função das coordenadas x,y, da carga (q) e da rigidez (D) da placa. Portanto, os deslocamentos da laje calculados pela Teoria da Elasticidade dependem da dimensão da placa, das condições de contorno, do carregamento, do módulo de elasticidade E do material (constante), da espessura da placa e do coeficiente de Poisson.

Uma outra equação importante é obtida a partir do equilíbrio de um elemento de placa, submetido a uma carga distribuída q. O equilíbrio é conseguido com os esforços internos atuantes: momentos fletores Mx e My , os momentos de torção Mxy e Myx  e os esforços cortantes Qx e Qy, atuando nas faces do elemento.

 Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(d)_Eb.

Figura 2 – Forças cortantes em um elemento de placa

Obtém-se a equação 1.5, que é a de equilíbrio das placas. É muito importante notar que esta equação é independente do fato de a placa estar em regime elástico ou plástico, independente do coeficiente de Poisson e se a placa é isotrópica ou ortotrópica.

Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(e)_Eb       eq(5)

A solução exata fechada de placas, obtida algebricamente através da solução destas equações diferenciais, é restrita a poucos casos e, portanto, tem pouca finalidade prática.

Outras soluções matemáticas numéricas disponíveis para o problema de placas são:

  • solução por séries simples;

  • solução por séries duplas trigonométricas (conhecida por solução de Navier).

Exemplo de aplicação utilizando séries trigonométricas

A seguir, apresenta-se um exemplo com a solução matemática exata de um problema de placa, conforme solucionado em TIMOSHENKO, S.P. & WOINOWSKY-KRIEGER, S. (1959). Trata-se de uma placa retangular com carregamento senoidal distribuído, escolhido justamente para que se possa ter uma solução da equação de Lagrange.

 Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(f)_Eb.

Figura 3 - Placa retangular simplesmente apoiada com carga senoidal

Uma placa retangular, conforme apresentada na  Figura 1, está sujeita a um carregamento distribuído sobre toda a superfície de acordo com a lei senoidal dada pela expressão:

 Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(g)_Eb eq(6)

onde qo representa o valor máximo da carga no centro da placa.

Substituindo este carregamento na equação de Lagrange obtêm-se :

 Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(h)_Eb.eq(7)

As condições de contorno para a placa simplesmente apoiada são:

Para   x = 0  e  x = a          tem-se          Mx = 0      e    w = 0

Para   y = 0  e  y = b          tem-se          My = 0      e    w = b

Usando as expressões para o cálculo dos momentos:

  Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(i)_Eb

E, como w = 0 nos bordos, tem-se

 Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(j)_Eb.

Pode-se mostrar que, para os lados paralelos a X e Y, as condições de contorno são:

Para   x = 0  e  x = a          tem-se    w = 0   e       

   Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(k)_Eb.  eq(13)

Para   y = 0  e  y = b          tem-se    w = 0   e          

 Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(l)_Eb.    eq(14)

A solução para a equação de Lagrange, que satisfaz todas as condições de contorno apresentadas, pode ser dada  por:

Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(m)_Eb.    eq(15)

onde C é uma constante que deve satisfazer a equação (6), a qual, substituída na equação (7), resulta em :

 Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(n)_Eb. eq(16)

Obtém-se, então, um campo de deslocamentos, para a placa, dado por:

 Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(o)_Eb eq(17)

Com a expressão que define o campo de deslocamento e utilizando as equações (2), (3) e (4) que definem os momentos, obtém-se os campos de momentos fletores e de momentos de torção para a placa:

Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(p)_Eb.

Como pode-se observar, mesmo a solução para um caso simples é bastante trabalhosa e precisa ser resolvida numericamente.

Limitações conhecidas e recomendações

A solução do problema de placas pelo caminho clássico é limitada a um número relativamente pequeno de geometria de placas, de carregamentos e condições de contorno. Se essas condições forem complexas, a análise em muitos casos é impraticável.

Como a equação de Lagrange é uma equação diferencial parcial de quarta ordem, torna-se muito difícil à solução de diversos casos práticos, especialmente quando os efeitos das deformações dos elementos de apoio precisam ser levados em consideração.

Entretanto, diversas técnicas de análise foram desenvolvidas para obter essas soluções, em especial o uso de computadores e o Método das Diferenças Finitas e o Método dos Elementos Finitos permitem que soluções da teoria elástica possam ser obtidas para sistemas de lajes com qualquer carregamento e quaisquer condições de contorno.

Comentários sobre tabelas

Antes do uso efetivo de programas computacionais, para o cálculo de lajes em projetos de edifícios, a maioria dos casos era solucionada através de tabelas, tanto para as soluções elastoplásticas como para as soluções elásticas.

Muitos autores de concreto armado incluíram, em seus livros, tabelas para o cálculo de lajes isoladas com diversas condições de apoio e carregamento, baseadas essencialmente nos procedimentos acima descritos. Algumas publicações são especializadas exclusivamente em tabelas de placa, dentre as quais pode-se destacar as tabelas de BARES, Richard (1970) para placas de estruturas em geral e as de WIPPEL, H & STIGLAT, K (1966), muito usadas em projetos de lajes de pontes.

Esses livros contêm, em sua maioria, uma coleção de tabelas para o cálculo dos momentos fletores e flechas máximas. Algumas tabelas apresentam os momentos de torção, esforços cortantes, reações de apoio e forças concentradas nos cantos.

Algumas tabelas apresentam apenas momentos fletores, sem indicar o coeficiente de Poisson adotado e, em alguns casos, os momentos fletores referem-se ao centro da placa sem a indicação de que pode existir um momento fletor máximo maior em outro ponto fora do centro.

Uma das publicações mais completas é a de BARES, Richard (1970), para vários coeficientes de Poisson entre 0 e 0,30, com tabelas para lajes retangulares que apresentam, além dos momentos fletores no centro da placa, os momentos Mymax  para  Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(bb)_Eb=0.

Para uma laje retangular com a relação entre o lado menor e o maior da ordem de 0.5, a diferença entre o momento máximo  Mymax  e o momento My no centro da placa pode chegar a 44%.

As tabelas têm sido usadas, geralmente, para o cálculo de lajes isoladas com condições de apoio simples, engastados ou livres. Para o cálculo de painéis contínuos de lajes apoiadas em vigas, o cálculo através de tabelas restringe-se ao cálculo de lajes isoladas com a utilização de critérios para corrigir os esforços devido à continuidade. No caso do apoio em vigas, a flexibilidade é geralmente desprezada, o que, em alguns casos, pode resultar em grandes diferenças nos valores dos esforços e nos deslocamentos verticais.

Apesar dos programas de computador tornarem possíveis as soluções de painéis de lajes de edifícios de um modo bastante eficiente, as tabelas para o cálculo de soluções elásticas de placas com carregamentos especiais, para o projeto de estruturas hidráulicas, como tanques, reservatórios, estações de tratamento de água e efluentes, continuam ainda a serem usadas com muita freqüência.

A seguir, apresenta-se uma lista das bibliografias mais conhecidas, que são especializadas em tabelas de placas e outras que contém tabelas em seu contexto.

Livros especializados em tabelas:

  • BARES, Richard.  Tablas para el calculo de placas y vigas pared.  Editorial Gustavo Gili, S.A. Barcelona, 1970.

  • BARES, Richard.  Tables for the Analysis os Plates, Slabs and Diaphragms Based on Elastic Theory. Bauverlag, Gmbh. Wiesbaden, 1971 (German-English Edition).

  • WIPPEL, H. e STIGLAT, K.  Platten.  Ed. Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn. Berlin/Munchen,1966.

  • HAHN, J.  Vigas continuas, pórticos, placas y vigas flotantes sobre lecho elastico.  Editorial Gustavo Gili, S.A. Barcelona, 1972

Livros com tabelas:

  • TIMOSHENKO, S.P. & WOINOWSKY-KRIEGER, S.  Theory of Plates and Shells.  McGraw-Hill Kogakusha, Ltda. 1959.

  • MONTOYA, Jimenez, MESEGUER, A. Garcia e CABRE ,F. Moran.  Hormigon Armado. Editorial Gustavo Gili, S.A. Barcelona, 1973

  • ROCHA, Aderson Moreira. Novo Curso Prático de Concreto Armado.  Vol. 1. Editora Científica. Rio de Janeiro, 1981.

  • SZILARD, Rudolph.  Theory and Analysis of Plates.  Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey,1974.

  • POLILLO, Adolfo.  Dimensionamento de Concreto Armado.  Vol II. Editora Científica. Rio de Janeiro, 1977.

Método dos Elementos Finitos

O Método dos Elementos Finitos é um procedimento numérico para a análise de meios contínuos. A análise de tensões em estruturas, condução de calor, escoamento de fluidos, campos elétricos e magnéticos são exemplos de problemas que envolvem a análise de meios contínuos.

No caso do problema de placas, o Método dos Elementos Finitos é usado para encontrar uma aproximação do campo de deslocamentos da placa. O campo de deslocamentos contínuo é substituído por um campo discreto com pontos nos nós dos elementos finitos.

A figura 4 apresenta uma saída gráfica, emitida pelo programa SAP90, do campo de deslocamentos também denominado deformada da placa. A deformação é geralmente ampliada para facilitar a visualização. O resultado portanto, é somente qualitativo, já que os deslocamentos usualmente são muito pequenos .

 Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(q)_Eb

Figura 4 - Placa deformada

Na figura 5, pode-se observar a saída gráfica dos momentos fletores em uma determinada direção dos elementos finitos, neste caso, a direção M11. A convenção utilizada pelo programa está demonstrada na figura 6. Normalmente, a saída gráfica é apresentada com regiões de mesmo valor para os esforços, com uma tabela de convenções de valores e os valores máximos destacados para o nó onde eles ocorrem.

Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(r)_Eb.

Figura 5 - Distribuição dos momentos fletores M11

A figura 6 apresenta a saída gráfica dos momentos fletores na outra direção, ou seja M22.

Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(s)_Eb

Figura 6 - Distribuição dos momentos fletores M22

A figura 7 apresenta a saída gráfica dos resultados dos momentos de torção na placa. É interessante observar a distribuição dos valores. Nas regiões nas quais os momentos fletores são máximos, os momentos de torção possuem os valores mais baixos. Nos cantos, nos quais os momentos fletores possuem os menores valores, os momentos de torção são máximos.

Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(t)_Eb.

Figura 7 - Distribuição dos momentos de torção M12

Referências bibliográficas

 

Mais Informações: 

" Modelos de análise de lajes de concreto armado"

"Dimensionamento elástico e plástico de lajes"

"Análise de lajes pelo Método das faixas de Hillerborg"

"Análise de lajes pelo Método das Charneiras Plásticas "

"Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelha - Conceitos Iniciais"

"Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelha - Influência dos Parâmetros de Rigidez"

"Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelha - Influência da Flexibilidade dos Apoios"

"Análise de lajes nervuradas por analogia de grelha"

tag(s): análise, Laje