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Assunto

Neste artigo, será abordado o método de Hillerborg para o cálculo de lajes. Diversos métodos aproximados de análise de lajes têm sido propostos, desenvolvidos e usados ao longo dos anos. Entre eles, está o conhecido método das faixas, apresentado por Hillerborg em 1956.

Esse procedimento pode ser usado para determinar a distribuição de esforços e possibilitar o dimensionamento das seções de concreto e das armaduras de um sistema de lajes.

Artigo

Análises limites

A Teoria Geral da Plasticidade demonstra que devido à plasticidade, uma redistribuição dos momentos e esforços cortantes, pode ocorrer antes de ser atingida a carga última da laje, como já foi mostrado no "Dimensionamento elástico e plástico de lajes".

As análises limites procuram calcular a carga última da laje, assumindo que as seções da laje são suficientemente dúcteis para permitir a redistribuição necessária dos esforços. Entretanto podem ser usados métodos de dimensionamento baseados nos Teoremas Estáticos ou Cinemáticos.

O método baseado no Teorema Estático, também chamado limite inferior postula que:

1. As condições de equilíbrio devem ser satisfeitas para todos os pontos da laje;

2. O momento de plastificação da laje não pode ser excedido em nenhum ponto da laje;

3. Todas as condições de contorno são satisfeitas.

A carga assim calculada é a carga última. Isso significa que a carga última nunca é superestimada (o procedimento está sempre a favor da segurança em relação ao Estado Limite Último).

Para todas as soluções possíveis de distribuição de momentos, antes da carga última da placa ser atingida, é necessária uma redistribuição de momentos, mesmo quando o dimensionamento é feito pela teoria elástica. Isso se deve ao fato de que a distribuição de momentos depende de uma distribuição complexa na rigidez da placa depois da fissuração do concreto. Portanto, as análises limites só podem ser aplicadas em lajes de concreto armado que possuam seções com grande ductilidade.

Como foi demonstrado no "Análise de Placas pela Teoria da Elasticidade", a equação de equilíbrio de um elemento de placa é dada por:

Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(e)_Eb.eq(1)

Esta equação pode ser aplicada tanto aos elementos de laje que estão em regime elástico quanto em regime plástico, já que ela é deduzida apenas a partir de considerações de equilíbrio. Qualquer solução que satisfaça também as condições de contorno e o critério de plastificação é uma solução possível para a configuração de momentos. Portanto existe um grande número de soluções entre as quais a teoria elástica é uma das possíveis.

Para obter-se as soluções possíveis, a carga q deve ser equilibrada pela soma dos termos do lado esquerdo da equação (1), onde o primeiro e o terceiro termo estão relacionados aos momentos fletores nas direções X e Y, que correspondem ao funcionamento de vigas; e o segundo termo está relacionado aos momentos de torção (ou volventes).

O fato da carga da laje poder ser equilibrada por qualquer combinação de momentos fletores e de torção nas duas direções dá uma idéia clara do conceito físico do método.

O método das faixas de Hillerborg é o procedimento mais usado baseado em uma análise de limite inferior. Esse método obtém a distribuição de momentos e esforços cortantes através da substituição da laje por um sistema de faixas dispostas em duas direções, as quais dividem entre si as cargas aplicadas. Esse é um procedimento válido porque o carregamento é suportado inteiramente por flexão, e por essa razão as condições de equilíbrio estático são satisfeitas e nenhuma resistência por torção é necessária.

Método das faixas de Hillerborg

O método da análise limite inferior foi chamado de “teoria do equilíbrio” por HILLERBORG (1956) e sugerido por ele como um método de projeto para lajes de concreto armado.

O método de projeto pode ser resumido no seguinte, conforme Hillerborg:

“Se uma distribuição de momentos pode ser encontrada de tal modo que satisfaça as equações de equilíbrio e as condições de contorno da placa para uma determinada carga externa, e se a placa é capaz de resistir a esses momentos em cada ponto, então a carga externa adotada representa um limite inferior da capacidade de suporte da placa”.

O objetivo de Hillerborg era apresentar um método de projeto que fosse ao mesmo tempo simples de ser aplicado e que apresentasse sempre resultados a favor da segurança.

De certo modo, o seu objetivo foi alcançado; o método é simples e resulta em dimensionamentos sempre a favor da segurança. Este método vem sendo usado por engenheiros de projeto há muitos anos, e, em muitos casos, até de forma intuitiva, desconhecendo o fato de que estão usando um método formulado em bases formais.

O método das faixas também foi tratado em outras publicações como CRAWFORD(1962), WOOD e ARMER (1968), KEMP (1970,1971 ), SHUKLA (1973) e outros.

Wood e Armer tornaram o método das faixas muito mais poderoso com a introdução do conceito de “faixas reforçadas” (strong bands), para possibilitar o cálculo de pavimentos sem vigas apoiados em pilares e lajes com bordos livres e aberturas.

Um ponto em comum deste método com o das charneiras plásticas é o fato de que a distribuição dos momentos nas duas direções é deixada para o engenheiro. Essa liberdade, no entanto, deve levar em consideração o fato que, se usada sem nenhum cuidado, pode levar ao cálculo de lajes que, embora satisfaçam os requisitos de resistência,  apresentam problemas com relação ao comportamento em serviço, com fissuras ou flechas excessivas. Essa liberdade também pode levar a soluções que requeiram uma grande redistribuição de esforços para atingir a carga última, e que necessitam então de uma extrema ductilidade das seções de concreto. Portanto, o engenheiro quando usar esse método precisa distribuir os momentos em proporções próximas daquelas obtidas pela teoria elástica.

É importante notar que, a distribuição de momentos obtida pela teoria elástica para uma placa, é de fato, uma solução possível de estado limite inferior porque ela satisfaz as condições de equilíbrio, as condições de contorno e as seções da placa são dimensionadas para resistir com segurança aos momentos em cada ponto.

Hillerborg simplificou o método geral do limite inferior eliminando a necessidade de se considerar os momentos de torção no cálculo da distribuição de momentos. Se nenhuma parcela de carga é absorvida pelos momentos de torção, o dimensionamento pode ser feito como se a laje fosse composta de faixas independentes, em geral nas duas direções. Torna-se necessário apenas calcular os momentos das faixas por critérios de estática, garantindo o equilíbrio. Esta simplificação resultou em um método extremamente atrativo para a área de projeto. O método foi chamado de método simples das faixas. Posteriormente foi apresentado por Hillerborg o método avançado das faixas, para enquadrar casos especiais de lajes apoiadas em pilares.

Hillerborg propõe que a distribuição de momentos em equilíbrio com o carregamento externo, seja obtida desprezando os momentos volventes. Neste caso, a equação (1) pode ser escrita:

Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(u)_Eb.

 

eq(2)

Essa expressão pode ser decomposta em duas:

metodo_hillerborg(f)_Eb.

 

eq(3)

metodo_hillerborg(g)_Eb  eq(4)

metodo_hillerborg(h)_Eb.eq(5)

As equações (3) e (4) correspondem ao funcionamento de vigas nas direções x e y. Portanto, a laje pode ser calculada como se fossem faixas de vigas nas direções x e y, distribuindo-se adequadamente o carregamento para essas faixas e utilizando condições de vinculação adequadas.

Para ilustrar o uso do método serão calculados dois exemplos apresentados por HILLERBORG, PARK e GAMBLE (1980)  de uma laje quadrada, simplesmente apoiada em todo o contorno submetida a um carregamento uniformemente distribuído. Os carregamentos e as dimensões foram alterados por conveniência deste artigo.

Exemplo 1 – Laje quadrada com 4 x 4 m, carga distribuída q de 1000 kgf/m2 com uma distribuição de faixas conforme mostrado na figura 4 . Pode-se encontrar uma distribuição de momentos em equilíbrio fazendo Kx = 0,5. Deste modo metade da carga será distribuída uniformemente para as faixas em cada direção. O resultado dos momentos obtidos para as faixas na direção X é dado pelo cálculo estático de uma viga biapoida com largura unitária.  O valor máximo dos momentos na direção x é:

mx = 0,5.q.l2 /8     ou seja       mx=1000 kgfm/m.

As reações nos apoios também podem ser obtidas por estática:

Rx = 0,5 .q.l/2         ou seja          Rx = 1000 kgf/m

Sistema_de_faixas_Eb.

Figura 1 - Sistema de faixas

Todas as faixas possuem o mesmo diagrama de momentos fletores e a laje precisa ser dimensionada de modo a respeitar esse diagrama em todas os pontos.

Exemplo 2 – Laje quadrada com 4 x 4 m, carga distribuída q de 1000 kgf/m2 com uma distribuição de faixas conforme mostrado na figura 5 . Pode-se encontrar uma distribuição de momentos em equilíbrio adotando para Kx valores 0 ou 1 dependendo da região da laje em que se encontra a faixa. A carga é dividida em regiões triangulares que transmitem a carga para o apoio mais próximo. Cada faixa carrega toda a carga distribuída q  apenas nas extremidades de comprimento. O valor do momento máximo das faixas na direção x é uma função de y , apresenta um valor máximo na faixa central e valores decrescentes em direção ao apoio de maneira não-linear conforme mostrado no gráfico da figura 5.  O valor máximo da faixa central é igual a  ql2/8 ou seja  2000 kgfm/m.

metodo_hillerborg(b)_Eb

Figura 2 - Solução do exemplo 2

Para a mesma laje, o método de Hillerborg permite inúmeras outras soluções, como, por exemplo, o caso extremo onde, com o valor Kx =1, toda a carga distribuída seria absorvida apenas na direção lx.  A escolha entre todas as soluções possíveis passa a ser, portanto um problema de otimização de detalhamento e custo das armaduras, que seriam dispostas de acordo com os diagramas de momentos. Na prática, uma solução como a do exemplo 2 mostra-se impraticável devido ao corte ou ao espaçamento variável de todas as barras da armadura.

Os exemplos demonstram a simplicidade e a facilidade com que os momentos de uma laje podem ser encontrados com a simples aplicação da estática e a diversidade de soluções possíveis para uma mesma laje.

É interessante salientar que muitos projetistas têm utilizado o método das faixas para calcular de modo aproximado lajes que apresentam formatos irregulares (ver figura 6), aberturas, bordos livres e diversas outras situações não encontradas nas soluções clássicas e nas tabelas. Faziam e em muitos casos ainda fazem, sem saberem que estão utilizando um método com um suporte formal no método do estado limite inferior.

metodo_hillerborg(c)_Eb.

Figura 3– Laje trapezoidal dimensionada pelo Método das Faixas com Kx =1 na direção dos menores vãos.

Faixas reforçadas

O método das faixas simples pode ser melhorado para ser empregado em lajes com aberturas, bordos livres e lajes apoiadas sobre pilares com o uso de faixas reforçadas para distribuir as cargas para os apoios. Esse procedimento foi sugerido por WOOD e ARMER (1968) e aumentou o alcance do método das faixas. Uma faixa reforçada é uma faixa de laje de largura adequada que possui uma quantidade de armadura concentrada e, portanto funciona como uma viga dentro da laje. Tal faixa pode ser de maior espessura que a laje, se necessário, para conter a armadura necessária para suportar o momento de projeto calculado.

Uma laje contendo aberturas pode ser tratada com a colocação de faixas reforçadas ao redor das aberturas. De modo similar, lajes com cantos reentrantes ou lajes sem vigas apoiadas em pilares podem ser tratadas usando-se faixas reforçadas, conforme mostrado na figura  7 e 8.

metodo_hillerborg(d)_Eb.

Figura 4 – Lajes com cantos reentrantes e lajes apoiadas em pilares.

metodo_hillerborg(e)_Eb.

Figura 5 – Laje com abertura.

Método das faixas avançado

Hillerborg apresentou em 1959 uma extensão do seu método das faixas para o projeto de lajes sem vigas apoiadas em pilares e para lajes com cantos reentrantes. Na primeira versão desse método, CRAWFORD (1962) fez referência a ele como o “método avançado das faixas”. O método avançado das faixas introduziu um tipo de elemento com um campo complexo de momentos com o objetivo de transferir as cargas para os pilares e cantos reentrantes.

Conclusões e recomendações

Resultados de testes feitos com lajes projetadas pelo método das faixas são escassos. Porém uma série de testes é reportada por PARK e GAMBLE (1980). Além disso um grande número de possíveis aplicações do método não foram ainda  testadas extensivamente e um grande número de aplicações ainda precisam ser testadas. Porém, as evidências disponíveis mostram que o cálculo da capacidade última das lajes está do lado da segurança. Entretanto, as condições de serviço devem ser verificadas baseadas em uma análise que represente satisfatoriamente essa fase de carregamento.

O método das faixas despreza o momento de torção e todo o carregamento da laje é equilibrado pela flexão das faixas. Esse é um procedimento válido para a resistência da laje e está de acordo com o teorema estático ou teorema do limite inferior (ver "Dimensionamento elástico e plástico de lajes"). No entanto, para o comportamento das lajes em serviço, os momentos de torção, calculados pelas teorias elásticas,  existirão. Tais momentos são maiores em geral nos cantos de lajes simplesmente apoiadas em vigas rígidas ou paredes. Embora o método das faixas não requeira que os momentos de torção sejam resistidos por nenhuma armadura, no projeto executivo das lajes uma armadura superior e inferior deverá ser colocada nesses cantos onde a laje for simplesmente apoiada. Essa armadura pode ser projetada e detalhada de acordo com as recomendações da norma NBR-6118 e complementada com as recomendações de diversas bibliografias especificas para detalhamento de estruturas de concreto como FUSCO (1995) e LEONHARDT (1997).

Como já foi mencionado anteriormente, o método das faixas não deve adotar distribuição de momentos muito diferentes da distribuição das teorias elásticas para evitar fissuras e flechas excessivas na laje nas condições de serviço.

Portanto é importante que o engenheiro desenvolva uma boa capacidade de julgamento em relação à distribuição de momentos das teorias elásticas e usá-la na ocasião de decidir qual a melhor razão entre momentos nas duas direções pelo método das faixas.

Referências bibliográficas

Última modificação: 02/12/2009

Mais Informações:""

"Modelos de análise de lajes de concreto armado"

"Análise de Placas pela Teoria da Elasticidade"

"Dimensionamento elástico e plástico de lajes"

"Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelha - Conceitos Iniciais"

"Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelha - Influência dos Parâmetros de Rigidez"

"Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelha - Influência da Flexibilidade dos Apoios"

"Análise de lajes nervuradas por analogia de grelha"

tag(s): análise, Laje