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Assunto

Este artigo analisará a modelagem de lajes de concreto armado por analogia de grelhas.

Simular uma placa através de elementos de barras formando uma grelha, é um procedimento conhecido desde os primórdios da engenharia estrutural. A Analogia de Grelha foi usada por Euler em 1766 para a solução de problemas de membranas elásticas e por Hrennikoff em 1941 para a análise de placas através de uma formulação denominada "Latticce Analogy".

Artigo

Conforme HAMBLY (1976): “Um painel de laje é estruturalmente contínuo nas duas dimensões do plano da laje de tal modo que as cargas aplicadas são equilibradas por uma distribuição bi-dimensional de esforços cortantes, momentos fletores e momentos de torção. ...Como a solução rigorosa das equações diferenciais raramente é possível, um procedimento aproximado pode ser usado, a Analogia de Grelha, na qual o painel de lajes é representado para fins de análise por uma grelha bi-dimensional de vigas.  .... os avanços significativos feitos nos programas de Analogia de Grelha nos últimos anos tornam esse procedimento mais versátil, mais rápido, e mais simples de compreender do que os demais”.

Analogia de Grelha

Conforme PARK & GAMBLE (1980): “A substituição de uma laje por uma série de vigas ortogonais que se cruzam, é provavelmente o mais antigo dos procedimentos. Os momentos fletores assim calculados podem diferir consideravelmente da distribuição verdadeira da teoria elástica devido à omissão dos momentos de torção atuantes em cada elemento da laje, que é comparável a omissão do termo cruzado da equação diferencial de equilíbrio das lajes Analise_de_Placas_pela_Teoria_da_Elasticidade(e)_Eb_1.. Este procedimento é , de fato, um método de projeto baseado na teoria de análise  limite inferior”.

Esse comentário é importante pelo fato de destacar que a Analogia de Grelha para o cálculo de lajes é um método  de análise e como tal possui fundamento formal nos teoremas de equilíbrio da teoria da plasticidade. No entanto afirmar que a distribuição de momentos difere da distribuição elástica, deixa de ser um problema com a utilização dos modernos computadores, pois é possível considerar a rigidez a torção das faixas e obter resultados que se aproximam muito da solução elástica.

Como a solução de lajes por Analogia de Grelha é uma solução por análise limite, os resultados possíveis para uma laje são inúmeros, em função da variação dos parâmetros de rigidez das barras da grelha.

Analogia de grelha para lajes de concreto Armado

Para analisar uma laje por Analogia de Grelha, deve-se discretizá-la em uma série de faixas com determinada largura. Considerando que as faixas podem ser substituídas por elementos estruturais de barras exatamente nos seus eixos, obtém-se então uma grelha de barras plana.

As grelhas podem ser consideradas como um conjunto de vigas individuais, interconectadas nos seus nós ou pontos nodais.

 Analogia_de_grelha_(parte_1)(a)_Eb

Figura 1 – Discretização de uma laje em uma malha de grelha plana.

Para determinar a relação entre força e deslocamento, nos métodos clássicos de análise estrutural, utiliza-se o método das forças ou o método dos deslocamentos. No método dos deslocamentos, os deslocamentos são as incógnitas.

Método dos deslocamentos

O método dos deslocamentos, também conhecido como método da rigidez, é um método de análise de estruturas reticuladas que usa a rigidez dos elementos para formar um sistema de equações, relacionando os deslocamentos com as cargas  que atuam na estrutura.

A equação básica do método é:

{F} = [K].{d}                                                  

Onde:

  • {F} é uma matriz coluna (um vetor) das cargas externas;

  •  [K] é a matriz de rigidez da estrutura;

  • {d}  é a matriz coluna dos deslocamentos.

Para um dado conjunto de cargas externas, o sistema de equações é resolvido calculando-se os deslocamentos. Os esforços nas barras da estrutura são obtidos  com base nos deslocamentos e nas matrizes de rigidez de cada elemento isolado.

O método da rigidez é um método muito geral que pode ser aplicado à resolução de qualquer tipo de estrutura reticulada. A análise de uma estrutura pelo método da rigidez pode ser descrita pelas seguintes etapas, conforme GERE e WEAVER (1980):

1 - A descrição da estrutura inclui o tipo de estrutura, a localização dos nós, posições das barras bem como a localização  e tipos de apoios.

2 - Especificação dos tipos de deformação a serem consideradas na análise, tais como deformações por flexão e deformações axiais. Dependendo dos tipos de deformações a serem consideradas, deve ser dado às barras a rigidez  apropriada.

3 - Determinação do número de deslcocamentos de nós desconhecidos ou graus de liberdade na estrutura. Há que se proporcionar um número correspondente de vínculos artificiais para produzir a estrutura restringida, na qual todos os deslocamentos de nós são nulos.

4 - Análise da estrutura restringida submetida às cargas. Todas as cargas, exceto aquelas correspondentes a um deslocamento de nó desconhecido, são consideradas como aplicadas à estrutura fixa, sendo avaliadas as várias ações na estrutura. As ações mais importantes a serem determinadas são as ações que correspondem aos deslocamentos desconhecidos. Outras ações de interesse são as ações de extremidade para os membros e as reações nos apoios.

5 - Análise da estrutura restringida por outras causas.

6 - Análise da estrutura restringida para valores unitários dos deslocamentos.

7 - Determinação dos deslocamentos. >>

A equação de superposição para as ações correspondentes aos deslocamentos na estrutura real é :

                                                         {F} - {Fo} = [K].{d}                                                           

Onde :

  1.  
    • {F} = esforços nos nós;

    • {Fo} = esforços de imobilização dos nós, devidos aos carregamentos aplicados nas barras.

Nesta equação, o vetor {Fo}  inclui os efeitos de cargas, variações de temperatura, deformações iniciais e deslocamentos de apoio. Quando se resolve a equação de superposição em função dos deslocamentos, o resultado é

 {d} = [K]-1.({F} - {Fo})

8 - Determinação de ações de extremidade e reações. >>

Os vetores para as ações de extremidade de membro e reações, respectivamente, na estrutura real são obtidos das seguintes equações de superposição:

                                                        {S} - {So} = [r].{d}                                                              

Quando os vetores {S},{So} e {d} tiverem sido obtidos, a análise pode ser considerada completada.

Grelhas planas

Uma estrutura de grelha assemelha-se, em vários aspectos, a um pórtico plano. Todas as barras e nós existem no mesmo plano, supondo-se que as barras estão rigidamente ligadas nos nós (no caso de estrutura de nós rígidos). Os efeitos de flexão tendem a predominar na análise, sendo os efeitos de torção secundários na análise de grelhas, porém importantes.

Na análise de uma de grelha, a estrutura existe no plano X-Y com todas as forças aplicadas atuando no eixo Z.

 Analogia_de_grelha_(parte_1)(b)_Eb

Figura 2 – Grelha plana

Como cada elemento de uma grelha pode estar orientado em qualquer direção no plano X-Y, é conveniente que cada barra  possua um sistema de eixos cartesianos ortogonais conhecido como eixo de coordenadas locais. Para o sistema local, os eixos denominados de xM ,yM  e zM  estão dispostos da seguinte maneira:

  • A direção do eixo xM coincide com o eixo da barra e com o sentido orientado do nó inicial j para o nó final k;

  • O eixo zM é perpendicular ao plano da grelha , dirigido para cima;

  • O eixo yM  é orientado perpendicular ao plano formado pelos eixos xM e zM.

Os deslocamentos que podem ocorrer nos nós de uma estrutura são, basicamente três translações e três rotações. Estes deslocamentos possíveis são chamados de graus de liberdade, ou seja , cada deslocamento possível de um nó é um grau de liberdade.

Os deslocamentos possíveis nas extremidades de uma barra de grelha são mostrados na figura a seguir e consistem em quatro rotações nas direções X e Y e duas translações na direção Z.

Analogia_de_grelha_(parte_1)(c)_Eb

Figura 3 -Deslocamentos nodais nas extremidades de uma barra de grelha

Matriz de rigidez das barras de grelha

Os deslocamentos unitários nas extremidades da barra podem ser provocados um de cada vez, com o objetivo de formar a matriz de rigidez da barra de grelha, relativa ao eixo local da barra. A matriz K é a matriz de rigidez da grelha. O significado físico de K pode ser descrito como:

Cada coluna (j) da matriz K é um vetor de cargas que deve ser aplicado ao grau de liberdade de modo a manter o estado de deformação associado com um valor unitário do grau de liberdade j enquanto todos os demais graus de liberdade são zero.

A seguir, serão apresentadas as fórmulas para o cálculo das ações nas extremidades das barras de grelha para os diversos deslocamentos impostos.

Uma barra é restringida quando uma das suas extremidades é impedida de se deslocar, seja por translação ou rotação. As ações de extremidade para uma barra restringida são ações de reação, forças ou momentos, que aparecem nas extremidades quando a barra é submetida a esforços, variação de temperatura, deslocamentos impostos ou outros efeitos.

Na figura a seguir, tem-se o caso de uma barra com as duas extremidades engastadas, submetida a um deslocamento vertical D em uma das extremidades. Devido a este deslocamento,a barra fica submetida a esforços de reação nas extremidades. Se este deslocamento for unitário, estes esforços correspondem à rigidez da barra em relação a esse grau de liberdade.

 Analogia_de_grelha_(parte_1)(d)_Eb

Analogia_de_grelha_(parte_1)(e)_Eb.

Figura 4– Momentos fletores e reações na barra  devidos a um deslocamento vertical em uma das extremidades

Na figura 5, tem-se o caso de uma barra com as duas extremidades engastadas, submetida a uma rotação F ao redor do seu próprio eixo, em uma das extremidades. Devido a esta rotação, a barra reage com os momentos de torção Mt nas duas extremidades.

 Analogia_de_grelha_(parte_1)(f)_Eb

Analogia_de_grelha_(parte_1)(g)_Eb

Figura 5– Momentos de torção na barra  devidos a uma rotação  em uma das extremidades

Na figura 6, tem-se o caso de uma barra com as duas extremidades engastadas, submetida a uma rotação q  em uma das extremidades. Devido a esta rotação, a barra reage com os momentos fletores MA e MB nas duas extremidades e com as duas reações R.

 Analogia_de_grelha_(parte_1)(h)_Eb

                                           Analogia_de_grelha_(parte_1)(i)_Eb.            Analogia_de_grelha_(parte_1)(j)_Eb

Figura 6– Momentos fletores e reações  na barra  devido a uma rotação  em uma das extremidades

Estas ações de extremidade são suficientes para a construção da matriz de rigidez de uma barra de grelha plana utilizada neste estudo. Outras análises mais sofisticadas poderiam incluir outros termos na matriz de rigidez  a partir de efeitos específicos.

A matriz de rigidez de um elemento de grelha plana é dada por:

Analogia_de_grelha_(parte_1)(l)_Eb.

Os termos com GJp são os termos que representam a rigidez à torção das barras de grelha. Os demais termos referem-se à rigidez à flexão da barra.

Transformação das matrizes de rigidez dos elementos

A rotação de eixos para vetores no plano pode ser formulada em uma base geométrica através de dois sistemas de eixos coincidentes na origem rotacionados de um angulo b.

 Analogia_de_grelha_(parte_1)(m)_Eb.

Figura 7– Rotação de eixos

Analogia_de_grelha_(parte_1)(n)_Eb.gif

R é uma matriz de senos e co-senos que é denominada matriz de rotação.

Analogia_de_grelha_(parte_1)(o)_Eb

Onde o comprimento da barra L pode ser calculado a partir das coordenadas dos nós extremos:

Analogia_de_grelha_(parte_1)(p)_Eb

Denominando   Cx = cosb   e  Cy = senb,  a matriz de rigidez de barra de grelha, em relação aos eixos globais é:

Analogia_de_grelha_(parte_1)(q)_Eb.

Após gerada a matriz de rigidez  Ki de cada barra na forma expandida, os elementos desta matriz são transferidos para a matriz de rigidez de nós K da estrutura.

Analogia_de_grelha_(parte_1)(r)_Eb

Este procedimento de somar diretamente as matrizes de rigidez dos elementos para formar a matriz de rigidez da estrutura é freqüentemente chamado de método direto da rigidez (direct stiffness method) . O fato de se usar a ferramenta matemática de matrizes é o que leva muitas vezes o método de análise ser designado de análise matricial.

Esforços nodais aplicados

Na fase seguinte da análise, formam-se os vetores associados às cargas sobre a grelha. As ações externas aplicadas nos nós constituem o vetor A.   

Analogia_de_grelha_(parte_1)(s)_Eb.

Figura 8  - Cargas nodais para uma grelha plana

Com as ações AML nas extremidades de uma barra restringida da grelha (devidas às cargas) constrói-se o vetor de cargas equivalentes AE.

Analogia_de_grelha_(parte_1)(t)_Eb.

Figura 9 - Cargas nodais em uma barra de grelha.

As cargas nodais reais, vetor A, podem-se somar às cargas nodais equivalentes, vetor AE, para produzir o vetor de cargas combinadas AC.

AC = A + AE

Pode-se notar que o vetor AC consiste em duas partes. A primeira parte representa a soma das cargas nodais reais e equivalentes correspondentes aos graus de liberdade conhecidos. A segunda parte consiste na soma das cargas nodais reais equivalentes correspondentes às restrições de apoio sobre a estrutura.  Se os sinais dos elementos desta parte de AC forem invertidos, aparece o vetor ARL.

O vetor de cargas combinadas está composto da seguinte maneira:

Analogia_de_grelha_(parte_1)(u)_Eb

Como os efeitos das cargas sobre as barras foram colocados na forma de cargas nodais equivalentes isto implica que o vetor ADL  é nulo. Portanto, a equação:

Analogia_de_grelha_(parte_1)(v)_Eb.

Pode ser simplificada para:

Analogia_de_grelha_(parte_1)(x)_Eb.

Cálculo dos deslocamentos e esforços nas barras

Na fase final da análise, as matrizes geradas na etapa anterior são substituídas nas equações apropriadas, com o propósito de calcular os deslocamentos nodais desconhecidos D, as reações AR e as ações de extremidade de barra AM. Os deslocamentos nodais desconhecidos são calculados com a equação:

Analogia_de_grelha_(parte_1)(z)_Eb.

Existem diversas técnicas para solucionar sistemas de equações lineares simultâneas entre as quais citamos o método de Cholesky. O objetivo desta solução é o vetor de deslocamentos nodais D da estrutura da grelha.

Como estes deslocamentos estão referidos ao sistema de coordenadas globais, através da matriz de transformação de cada barra da grelha podemos calcular os deslocamentos nodais referidos ao sistema local e, com eles, obter os esforços nas extremidades da barra.

As ações nas extremidades das barras AM podem ser obtidas com a equação:

Analogia_de_grelha_(parte_1)(aa)_Eb

Analogia_de_grelha_(parte_1)(ab)_Eb.

Figura 10 - Esforços nodais nas extremidades de uma barra de grelha

Onde Mt são momentos de torção, My momentos fletores no plano xMzM  e Q os esforços cortantes no plano xMzM.

Influência da rigidez à torção

A aplicação da Analogia de Grelha para o cálculo de lajes em princípio parece tratar-se da simples aplicação do programa de análise de grelhas planas com o painel discretizado. Os resultados dos esforços e deslocamentos obtidos seriam então usados para o dimensionamento. No entanto é necessário analisar a influência dos diversos parâmetros nos resultados, tais como número de faixas, rigidez a flexão e a torção entre outras.

No modelo de grelhas planas os esforços nas extremidades das barras que correspondem aos graus de liberdade são os seguintes:

Analogia_de_grelha_(parte_1)(ac)_Eb.

Figura 11 - Esforços nodais nas extremidades de uma barra de grelha

Estes esforços são proporcionais as rigidezes correspondentes das barras, que na matriz das barras são parâmetros de rigidez a torção GJp  e  de rigidez a flexão EIy.

O parâmetro de rigidez a torção GJp é composto do módulo de elasticidade transversal (G) do material, que pode ser medido ou calculado em função do módulo de elasticidade transversal (Ec) ou módulo de Young e do momento de inércia polar (Jp) da seção transversal da barra.

Para materiais isotrópicos homogêneos, a lei de Hooke generalizada possui apenas três constantes elásticas E, n e  G.  A equação de conexão é:

Analogia_de_grelha_(parte_1)(ad)_Eb.

Para aplicações em concreto armado a NBR 6118/1980 no item 8.2.6 fixa o valor do coeficiente de Poisson em 0.2, adotando-se a seguinte relação aproximada:  

G = 0,4Ec

O outro parâmetro é o momento de inércia polar da seção transversal da barra (Jp). As barras da grelha possuem seção retangular com largura igual a largura das faixas e altura igual a espessura da placa. O momento de inércia pode então ser calculado conforme GERE e WEAVER (1980) pela fórmula :

Analogia_de_grelha_(parte_1)(add_Eb.

Onde

Analogia_de_grelha_(parte_1)(ae)_Eb.gif

Nessas fórmulas,m b é sempre a menor dimensão. Portanto quando as faixas possuírem largura maior que a altura, o valor b é igual a espessura da faixa e h igual a largura da faixa. Quando as faixas passam  a ter uma largura menor que a espessura da placa esta situação inverte-se.

Exemplo de cálculo de uma grelha

Uma grelha será calculada para mostrar os diagramas dos momentos fletores e de torção e o comportamento em função da rigidez a torção das faixas.

A grelha analisada, possui dez vigas com seção de 80x10 cm simplesmente apoiadas nas extremidades. Este apoio está livre para a rotação segundo o eixo perpendicular à viga, porém com a rotação impedida segundo o eixo da viga.

As vigas possuem comprimento de 4 m e estão espaçadas de 80 cm entre si, formando uma grelha em quadrado de 4m de lado.

O carregamento distribuído uniformemente nas barras é de 400 kgf/m, exceto nas oito barras dos cantos que é de 300 kgf/m. Com um módulo de elasticidade longitudinal Ec=210000 kgf/cm2 e um módulo de elasticidade transversal igual a 0,4Ec.

Os parâmetros de cálculo da primeira análise são:

  • G = 84000 kgf/cm2

  • Jp = 24567 cm4

  • I = 6667 cm4              

A relação Jp /I é de  3,6.

Analogia_de_grelha_(parte_1)(af)_Eb

Figura 12 – Grelha de vigas com malha de 80x80cm.

A análise dessa grelha foi feita com um programa de computador utilizando o método da rigidez direta. Os resultados da análise foram, em primeiro lugar os deslocamentos nodais nos nós da grelha. Na figura 13 é apresentado um diagrama com a deformada ou a linha elástica da viga central da grelha, a viga V3, na qual acontece a maior deformação da grelha, no nó central, 0,49 cm.

DESLOCAMENTOS VIGA: V3

 Analogia_de_grelha_(parte_1)(ag)_Eb

Figura 13 –Deformada da V3 .

Nos diagramas dos momentos fletores, é importante observar duas características peculiares das grelhas, a descontinuidade no gráfico devido aos momentos de torção e o fato de o momento fletor máximo nem sempre se encontrar no meio da grelha. Na figura 14 é apresentado o diagrama de momentos fletores na viga central V3, os pontos de descontinuidade correspondem aos nós da grelha e a diferença entre os valores em cada descontinuidade é exatamente igual ao momento de torção concentrado aplicado como reação à deformação a torção da viga perpendicular neste ponto. O momento fletor máximo nesta viga que corresponde ao momento fletor máximo da grelha está situado no final da segunda barra.

No primeiro nó com descontinuidade da viga V3 a diferença entre os valores dos momentos fletores é de 453,27 kgfm, que corresponde ao momento de torção no meio da viga V1, (231,6 +231,6). O valor máximo do momento de torção desta grelha é encontrado na extremidade da viga V1, com um valor de  845 kgfm.

MOMENTOS FLETORES DE CÁLCULO (Mdx) VIGA: V3

Analogia_de_grelha_(parte_1)(ah)_Eb.

Figura 14 – Momentos fletores na viga V3.

 

MOMENTOS TORSORES DE CÁLCULO (Mtd) VIGA: V1

Analogia_de_grelha_(parte_1)(ai)_Eb

Figura 15 – Momentos de torção na viga V1

A mesma grelha também foi analisada com uma redução de 95% nos parâmetros de rigidez, o que, em termos práticos corresponde a uma grelha com as barras sem rigidez à torção.

MOMENTOS FLETORES DE CÁLCULO (Mdx) VIGA: V3

Analogia_de_grelha_(parte_1)(aj)_Eb.

Figura 16 – Momentos fletores da viga central , redução torção 95%

Com esta redução na torção observa-se um aumento significativo  nos deslocamentos nodais e dos momentos fletores com uma redução dos momentos de torção para praticamente zero. Com a redução dos momentos de torção, as descontinuidades no diagrama dos momentos fletores são bastante reduzidas, fazendo com que o valor máximo da grelha na viga V3 seja encontrado no nó central.

MOMENTOS TORSORES DE CÁLCULO (Mtd) VIGA: V1

Analogia_de_grelha_(parte_1)(al)_Eb

Figura 17 – Momentos de torção da viga central , redução torção 95%

DESLOCAMENTOS VIGA: V3

Analogia_de_grelha_(parte_1)(am)_Eb

Figura 18 –Deformada na viga central , redução torção 95%

Referências bibliográficas

tag(s): análise, Laje