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Assunto

Dando continuidade ao último artigo lançado - "Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelha - Conceitos Iniciais", o autor comenta agora sobre a influência da rigidez a torção no cálculo dos momentos fletores, momentos de torção e o deslocamento das lajes quando modeladas por analogia de grelhas.

Artigo

Na parte 1 "Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelha - Conceitos Iniciais" deste artigo, foi mostrado que a rigidez à torção tem grande influência nos resultados dos esforços e deslocamentos de uma grelha.  Para analisar uma laje por analogia de grelha deve-se, portanto, estudar a influência desse parâmetro e determinar qual o valor a ser adotado em função dos resultados que se deseja obter. Dependendo do valor adotado para a rigidez à torção das barras da grelha pode-se obter valores muito próximos dos conquistados  pela teoria da elasticidade.

Conforme HAMBLY(1976), as seguintes propriedades dos elementos de barra devem ser consideradas no cálculo de lajes por analogia de grelha:

  • O momento de inércia a flexão, Iyy,  das barras da grelha é calculado com as dimensões da seção transversal  da faixa b e a altura da faixa, igual à altura h da laje :

Analogia_de_grelha_(parte_2)(a)_Eb.

  • O momento de inércia a torção Jp, por unidade de largura de uma placa isótropa é dado por:

Analogia_de_grelha_(parte_2)(b)_Eb

E para uma barra da grelha que representa uma largura b de laje é dado por:

Analogia_de_grelha_(parte_2)(c)_Eb.

Comparando-se esse valor com o do momento de inércia a flexão Iyy, pode-se concluir que Jp = 2.Iyy.

Esse valor também é sugerido por  MONTOYA (1973)  : “Para modelar a placa como uma grelha pode-se substituí-la por uma malha de vigas nas duas direções. A cada viga se atribui a inércia a flexão da faixa correspondente e uma inércia a torção o dobro que a sua inércia a flexão.”

A seguir mostra-se o que pode ocorrer se o momento de inércia a torção Jp for calculado com as equações 1 e 2, para seções retangulares,  onde bb,h é sempre a menor dimensão da seção transversal das faixas. Multiplicando-se o valor do momento de inércia a torção de uma faixa pela quantidade de faixas, nesse caso o valor do lado da laje quadrada pela largura de uma faixa, obtém-se um valor do somatório da inércia a torção total da laje em uma das direções.

Analogia_de_grelha_(parte_2)(d)_Eb.

eq.(1)

Analogia_de_grelha_(parte_2)(e)_Eb.

eq.(2)

Variando a espessura b das faixas e dividindo-se pelo valor da rigidez a flexão para a mesma largura de faixa,  obtém-se o resultado mostrado na figura 1.

O gráfico mostra que a rigidez total a torção da placa não é linear, diminui significativamente para malhas pouco espaçadas. Como a torção atua em relação ao eixo da barra, o valor da dimensão bb,h é sempre o menor dos lados, para valores da largura da faixa menores que a espessura da placa, a menor dimensão bb,h  passa a ser a largura da faixa. O momento de inércia total da placa tende a zero quando a espessura das faixas também tender a zero, diferentemente do somatório da rigidez a flexão que permanece constante.

 Analogia_de_grelha_(parte_2)(f)_Eb

Figura 1 – Somatório das rigidezes a torção em relação à espessura das faixas

Isso demonstra que  não é possível  utilizar a rigidez à torção calculada com o momento de inércia polar da seção retangular das faixas, em uma grelha utilizada para simular uma laje maciça, pois esse parâmetro é dependente da espessura das faixas.

Um exemplo é apresentado a seguir para ilustrar a influência deste parâmetro.

Exemplo 1 - Rigidez à torção conforme equações 1 e 2

Uma laje quadrada de 4x4 m foi analisada por analogia de grelha com o momento de inércia polar das faixas calculado pelas equações 1 e 2.  Diversas malhas foram usadas, com larguras de 80 a 5 cm. Os dados para o cálculo da grelha são os seguintes:

  • Módulo de elasticidade do concreto : Ec = 21000 Mpa;

  • Módulo de elasticidade transversal : Gc = 0,4.Ec;

  • Espessura da laje : 10 cm;

  • Carga uniformemente distribuída na laje : 1000 kgf/m².

Resultados dos momentos e flechas no centro da laje.

Analogia_de_grelha_(parte_2)(g)_Eb

 

 Analogia_de_grelha_(parte_2)(h)_Eb.

Figura 2 - Momentos fletores e momentos de torção em função da malha

Analogia_de_grelha_(parte_2)(i)_Eb.

Figura 3 – Flechas máximas em função da malha

Este exemplo mostra que existe uma influência significativa da malha, no caso de se adotar as equações 1 e 2 no cálculo dos momentos de inércia à torção das faixas. Os valores dos momentos fletores e das flechas tendem a aumentar com a redução dos momentos de torção. Portanto, a utilização de um momento de inércia proporcional ao momento de inércia axial das faixas está plenamente justificada.

Exemplo 2 - Rigidez à torção proporcional à rigidez à flexão

Para a mesma laje do exemplo 1, com uma malha de 36x36 cm foram calculados os momentos e as flechas para diferentes relações entre o momento de inércia à torção e o momento de inércia à flexão, além da relação sugerida por HAMBLEY(1976) e MONTOYA (1973). Neste exemplo o módulo de elasticidade transversal foi calculado em função de um coeficiente de  Poisson 0,2, resultando em Gc = 0,42.Ec.

Analogia_de_grelha_(parte_2)(j)_Eb

Estes resultados serão comparados com as soluções obtidas para a mesma laje através da Teoria da Elasticidade e pelo Método dos Elementos Finitos.

Estudo comparativo entre as soluções clássicas e a Analogia de Grelha

SOLUÇÃO DE NAVIER

A solução de Navier pode ser usada para calcular a distribuição de deslocamentos e esforços em uma laje retangular simplesmente apoiada.

Para comparar os valores obtidos com a solução clássica e a analogia de grelha, foram calculados pela solução de Navier os momentos fletores máximos nas direções x e y, os momentos de torção e os deslocamentos máximos para diversos valores do coeficiente de Poisson (n).

Analogia_de_grelha_(parte_2)(l)_Eb

ELEMENTOS FINITOS

A mesma laje também foi analisada pelo Método dos Elementos Finitos. Para isso foi utilizado o programa de computador SAP90. Usou-se  uma malha de 196 elementos quadrados do tipo plate (placa) com aproximadamente 28.5 cm de lado. Esta malha foi considerada suficiente, pois foram realizadas diversas análises com malhas mais refinadas porém os resultados não são mais precisos. Foram analisados seis casos variando os coeficientes de Poisson de 0 a 0,3.

A figura 4 apresenta os resultados dessa análise em uma saída gráfica do programa de computador, com as regiões de mesmo valor de momento fletor, denominadas isomomentos, na direção M11. Este resultado corresponde a um coeficiente de Poisson 0,2 e o momento máximo no nó central , nó 113, é de 710 kgfm/m.

Analogia_de_grelha_(parte_2)(m)_Eb.

Figura 4 -  Distribuição dos momentos fletores calculados por elementos finitos.

Os  momentos de torção máximos acontecem nos cantos e com o valor de 577 kgfm/m.

Analogia_de_grelha_(parte_2)(n)_Eb.

Figura 5 - Resultados dos momentos e flecha máxima para laje quadrada 4x4m pelo Método dos Elementos Finitos

Analogia_de_grelha_(parte_2)(o)_Eb.

COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS

Os valores dos momentos fletores e dos momentos de torção obtidos pela solução elástica de Navier e pelo Método dos Elementos Finitos comparados com os resultados obtido por analogia de grelha mostram que o valor recomendado para a relação Jp/Iyy, isto é, para a relação entre o momento de inércia polar e o de inércia axial, conforme sugerido por HAMBLEY(1976) e MONTOYA (1973) está realmente próximo de 2.

Estudo comparativo para laje retangular com relação LX/LY = 1.5

Estudos realizados para lajes retangulares também mostraram uma boa aproximação dos resultados da analogia de grelha em relação a Teoria da Elasticidade.

Para uma relação entre lados de 1,5 foi analisada uma laje com as dimensões de Lx = 4 m e Ly = 6 m.

Analogia_de_grelha_(parte_2)(p)_Eb.

Figura  6 –  Malha de uma laje retangular com relação entre lados Lx/Ly = 1,5

Os resultados elásticos foram obtidos pelas tabelas de Bares.

Laje calculada pelas tabelas de Bares.

Analogia_de_grelha_(parte_2)(q)_Eb.

Na tabela a seguir estão os resultados da análise elástica obtidos através da solução por Elementos Finitos, somente para o coeficiente de Poisson 0,2.

Laje calculada por elementos finitos

Analogia_de_grelha_(parte_2)(r)_Eb.

A tabela a seguir  apresenta os resultados obtidos por analogia de grelha para esta laje retangular, para diversos valores do parâmetro de rigidez a torção e para uma malha de 57x 57 cm.

Analogia_de_grelha_(parte_2)(s)_Eb.

Referências bibliográficas

tag(s): análise, Laje