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Assunto

Dando continuidade ao último artigo lançado - "Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelha - Influência dos Parâmetros de Rigidez", o autor comenta agora sobre a influência da flexibilidade dos apoios no cálculo de pavimentos quando modelados por analogia de grelhas.

Artigo

O cálculo de pavimentos de edifícios, compostos por lajes e vigas, foi realizado, durante muitos anos, de maneira simplificada, considerando-se as lajes isoladas apoiadas em vigas rígidas. Isso se devia, principalmente, à falta de recursos computacionais capazes de resolver o grande volume de equações simultâneas necessárias para analisar um pavimento como um todo.

No caso de um pavimento composto por lajes quadradas ou retangulares, com dimensões não muito diferentes entre si e com vigas de apoio suficientemente rígidas, para que se possa considerar os apoios das lajes indeformáveis, o procedimento antigo ou simplificado de se considerar as lajes apoiadas sobre apoios rígidos, não leva a resultados muito diferentes daqueles obtidos com uma análise do pavimento inteiro por Analogia de Grelha ou pelo Método dos Elementos Finitos.

Uma comparação entre os resultados fornecidos pela Analogia de Grelha e o processo de Marcus para lajes retangulares (ou o uso de tabelas constantes em bibliografia) já pode resultar em discrepâncias importantes. Em pavimentos de edifícios reais, as lajes estão apoiadas sobre vigas que são flexíveis. Esta condição de apoio altera o campo de deformações da laje e, como conseqüência, os esforços internos e as reações de apoio. Nos processos para lajes isoladas, supõe-se que os apoios sejam indeformáveis.

Na solução por Analogia de Grelha, é possível considerar as vigas de apoio em conjunto com o modelo de grelha das lajes e analisar todo o conjunto como uma grelha plana. A laje e as vigas de apoio passam a ser, portanto, uma única estrutura. Em painéis  de lajes contínuas, este modelo é mais conveniente, obtendo-se uma configuração de deformação e esforços mais próxima da situação real em regime elástico.

A solução do problema de lajes sobre apoios flexíveis pode ser obtida pela teoria da elasticidade, sendo apresentada apenas para alguns casos particulares com lajes isoladas. Por exemplo, na análise de uma laje quadrada de 4x4 m com 10 cm de espessura, para diversas alturas de viga com largura fixa de 12 cm e altura variando de 500 cm até 26 cm, os resultados da flecha máxima no meio do vão variam de 0,56 cm até 1,61 cm e 3,52 cm para o caso de bordo livre. O mesmo exemplo calculado por Analogia de Grelha apresenta resultados praticamente idênticos. Quando se consideram duas lajes justapostas, com uma viga central, ao reduzir a rigidez desta viga pode-se chegar a resultados nos quais  o momento fletor sobre a viga é positivo e não negativo.

Estes dois casos serão apresentados a seguir em uma análise mais detalhada com resultados comparativos.

Exemplo 1- Laje retangular simplesmente apoiada em vigas flexíveis

Em pavimentos de edifícios reais as lajes, em sua maioria, estão apoiadas sobre vigas que são flexíveis. Esta condição de apoio altera o campo de deformações da laje e como conseqüência os esforços internos e as reações de apoio. Na solução por analogia de grelha é possível considerar as vigas de apoio em conjunto com o modelo de grelha das lajes e analisar  o conjunto como uma grelha plana, a laje e as vigas de apoio passam a ser portanto uma única estrutura.

Em painéis  de lajes contínuas este modelo é mais conveniente, obtém-se uma configuração de deformação e esforços mais próxima da situação real em regime elástico.

A solução do problema de lajes sobre apoios flexíveis é mais complexa na teoria da elasticidade, são apresentadas apenas para alguns casos particulares com lajes isoladas. A solução para o caso de lajes com placas quadradas apoiadas em quatro vigas flexíveis é apresentada por  TIMOSHENKO, S.P. E WOINOWSKY-KRIEGER, S (1959).

 Analogia_de_grelha_(parte_3)(a)_Eb.

 Figura 1 - Laje retangular apoiada em vigas elásticas

A figura acima mostra uma laje quadrada apoiada em todo o contorno em quatro vigas iguais e flexíveis. A relação entre a rigidez  da viga e a placa  é calculada pela expressão:

  Analogia_de_grelha_(parte_3)(b)_Eb.

Onde:

  • E = módulo de elasticidade longitudinal;

  • I = momento de inércia a flexão da viga;

  • a = vão da viga;

  • D = rigidez a flexão da placa.

Os deslocamentos e os momentos fletores no meio da placa (X =0 e Y = 0)   são calculados pelas  expressões :

Analogia_de_grelha_(parte_3)(c)_Eb.

Os momentos fletores junto das vigas no ponto X=0 e Y = a/2 pela expressão:  

Analogia_de_grelha_(parte_3)(d)_Eb.

Coeficientes para flechas e momentos de laje quadrada com quatro lados apoiados em vigas flexíveis,
conforme TIMOSHENKO. Coeficiente de Poisson = 0,25

Analogia_de_grelha_(parte_3)(e)_Eb.

Dimensões usuais de vigas e lajes podem resultar em valores do coeficiente g abaixo de 1, como por exemplo, em vigas com seção retangular de 12 x 30 cm e laje com espessura de 10 cm onde o valor de g chega a 0,8. Pelos valores da tabela os deslocamentos podem ser duas vezes maiores que o deslocamento da laje sobre apoios rígidos e os esforços até 1,5. A rigidez da placa depende do coeficiente de Poisson que neste caso foi adotado como 0,25.

Serão calculadas alturas de vigas para uma largura fixa de 12 cm a partir da expressão:

Analogia_de_grelha_(parte_3)(f)_Eb.

A tabela seguinte apresenta os resultados da flecha máxima e do momento fletor máximo pela teoria da elasticidade conforme apresentado por TIMOSHENKO, S.P. E WOINOWSKY-KRIEGER, S (1959).

Nesta tabela Mx é o momento máximo no meio do vão da laje e Mxa é o momento no meio da viga de apoio e f é a flecha máxima.

Coeficientes para flechas e momentos de laje quadrada com quatro lados
apoiados em vigas flexíveis. Coeficiente de Poisson = 0,25

Analogia_de_grelha_(parte_3)(g)_Eb.

A seguir serão apresentados os resultados do mesmo problema analisado por analogia de grelha.

Coeficientes para flechas e momentos de laje quadrada com quatro lados
apoiados em vigas flexíveis.  Cgc = 0,4   Jp/Iyy =2

Analogia_de_grelha_(parte_3)(h)_Eb.

Os gráficos das figuras abaixo mostram como os resultados obtidos pela teoria da elasticidade estão próximos do modelo em analogia de grelha, com os parâmetros escolhidos.

Analogia_de_grelha_(parte_3)(i)_Eb.gif

Figura 2 - Momentos Fletores Máximos Mxa no meio da viga em função da rigidez do apoio por Analogia de Grelha e Teoria da elasticidade

Analogia_de_grelha_(parte_3)(j)_Eb.

Figura 3 - Momentos Fletores Máximos Mx no meio da laje em função da rigidez do apoio por Analogia de Grelha e Teoria da elasticidade

Analogia_de_grelha_(parte_3)(k)_Eb.

Figura 4 - Flecha máxima em função da rigidez do apoio por Analogia de Grelha e Teoria da elasticidade

Exemplo 2 - Influência da flexibilidade do apoio intermediário em painéis de lajes contínuas

Em um painel contínuo de lajes em um edifício de concreto armado, as lajes são apoiadas em paredes rígidas ou em vigas. Na maioria dos projetos estas vigas não são totalmente rígidas. A flexibilidade destas vigas pode influenciar bastante o resultado dos deslocamentos e dos esforços como pode ser demonstrado em uma análise por analogia de grelha ou por elementos finitos.

Para analisar a influência da flexibilidade dos apoios, um painel contínuo composto por duas lajes retangulares de 4 x 6 m com espessura de 10cm, apoiado em vigas, será calculado por elementos finitos para várias alturas da viga intermediária desde 15x100 até 15x20 cm. Os demais apoios do painel serão considerados com vigas de grande altura para simular o efeito de um apoio indeformável.

As saídas gráficas apresentam os resultados para uma viga intermediária com 100 cm de altura, que é suficientemente rígida para demonstrar que os resultados não diferem de um painel calculado com duas lajes retangulares contínuas sobre apoios indeformáveis. Como o painel é simétrico os resultados são os mesmos caso as lajes fossem consideradas isoladas, com três lados simplesmente apoiados e um dos maiores lados engastados.

A figura abaixo apresenta  os momentos fletores na direção M11, ou seja momentos que atuam na menor direção de uma das lajes. Estes resultados foram obtidos em uma análise por Elementos Finitos.

Analogia_de_grelha_(parte_3)(l)_Eb.

Figura 5 - Laje contínua (2 de 4x6m) com apoio intermediário rígido  viga de 15x100

A análise a seguir foi feita com uma viga flexível no apoio intermediário, com seção de 15x40 cm e mostra uma significativa influência da rigidez do apoio central. Examine-se, por exemplo, o momento fletor máximo negativo na região de apoio das lajes sobre a viga intermediária. No caso de um apoio rígido, ou viga de grande rigidez, o valor do momento fletor na direção M11 ( Myvs) é de 1560 kgfm/m, com a redução da rigidez desse apoio intermediário com uma viga de 15x40 cm , o valor desse momento cai para 266 kgfm/m.

Analogia_de_grelha_(parte_3)(m)_Eb.

Figura 6 - Momentos fletores Mx no vão e Myvs no apoio, viga de 15x40

No caso extremo de uma viga bastante flexível, com uma seção de 15x20 cm este momento passa a ser positivo com um valor de 1120 kgfm/m, conforme mostrado na figura abaixo. A flexibilidade do apoio nesse caso é tão alta, que o painel composto de duas lajes de 4x6m passa a se comportar quase como se fosse uma única laje retangular de 6x8m, simplesmente apoiada no contorno.

Analogia_de_grelha_(parte_3)(n)_Eb.gif

Figura 7 - Momentos fletores My no vão e Myvs no apoio, viga de 15x20

Analogia_de_grelha_(parte_3)(o)_Eb.

Figura 8 - Momentos fletores Mx no vão e Myvs no apoio, viga 15x40

A figura a seguir apresenta a saída gráfica dos momentos fletores na direção M22, correspondente a direção dos momentos My nas tabelas de Bares, com a viga de apoio intermediária de 15x20 cm. Nota-se que o momento máximo nesta direção passa a ser no centro dessa viga, com o painel transformando-se praticamente em uma única laje de 4x8m.

Analogia_de_grelha_(parte_3)(p)_Eb_1

Figura 9 - Momentos fletores My no vão e Myvs no apoio, viga de 15x20

A tabela seguinte apresenta um resumo dos resultados da análise do painel por Analogia de Grelha para diversas alturas da viga de apoio intermediário. Nesta tabela os deslocamentos correspondentes à flecha 1 são no meio de cada uma das lajes de 4x6 m, o deslocamento da flecha 2 são no meio do apoio da viga intermediária, que varia desde zero, para o caso de um apoio rígido, até 4,29 cm para a viga de apoio com 15x20 cm.

É possível observar também uma variação nos momentos de torção. Neste caso, para comparação foram tabelados os momentos nos cantos do painel, onde a variação é de aproximadamente 2,5 vezes.

Resultados da análise por Elementos Finitos h=10 cm, carga uniformemente distribuída de 1000 kgf/m2.

Analogia_de_grelha_(parte_3)(q)_Eb.

Para obter os resultados para um estudo comparativo, o mesmo painel de lajes contínuas foi analisado por analogia de grelha. A figura abaixo apresenta uma saída gráfica da deformada do painel com uma viga de apoio intermediário bastante rígida com seção de 15x100 cm.

Analogia_de_grelha_(parte_3)(r)_Eb

Figura 10 - Painel continua com viga intermediaria de 15x100

Nas figuras abaixo são apresentados os momentos fletores nas duas direções Mx e My e os momentos de torção. A comparação com os resultados da análise por elementos finitos, mostra que a distribuição dos momentos possui uma configuração bastante semelhante nas duas análises.

As figuras seguintes apresentam os mesmos resultados porém com vigas de apoio intermediário flexível . É visível a deformação da viga de apoio intermediário e a  sua influência no campo de deformações do painel de lajes contínuas.

Analogia_de_grelha_(parte_3)(s)_Eb.

Figura 11 - Momentos fletores em painel contínuo com viga intermediária de 15x100.

Analogia_de_grelha_(parte_3)(t)_Eb.

Figura 12 - Painel continuo com viga intermediaria de 15x60.

Analogia_de_grelha_(parte_3)(u)_Eb.gif

Figura 13 - Momentos fletores de Painel continuo com viga intermediária de 15x60.

Analogia_de_grelha_(parte_3)(v)_Eb.

Figura 14 - Painel contínuo com viga intermediaria de 15x20.

O resumo dos resultados obtidos na análise por Elementos Finitos e por Analogia de Grelha é apresentado na tabela a seguir. Estes resultados mostram a importância da consideração da flexibilidade dos apoios e apresentam, também, a semelhança nos resultados das duas análises.

Resultados em Elementos Finitos (FEM) e Analogia de Grelha (AG)

Cgc = 0,4         Jp/Iyy = 2,5

Analogia_de_grelha_(parte_3)(x)_Eb.

Referências bibliográficas

tag(s): análise, Laje