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Assunto

Usualmente, efetuam-se análises elásticas para determinar os esforços atuantes nas lajes e demais elementos da estrutura. Tais análises consideram um comportamento elástico-linear para o concreto, desprezando a fissuração e a própria presença da armadura. No dimensionamento das seções, feito no Estado Limite Último, tem-se a plastificação tanto do concreto como do aço, bem como outros fatores não lineares. Este artigo, elaborado pelo Profº. Daniel D. Loriggio (UFSC) , aborda os teoremas que garantem que tal procedimento encontra-se a favor da segurança, desde que se garanta a dutilidade das seções transversais. Além disso, procura explicar por que diversos processos de análise podem resultar em valores diferentes para os esforços atuantes e por que todos eles podem se encontrar a favor da segurança.           

Artigo

Os procedimentos usuais em projeto utilizam uma análise elástica como base para o dimensionamento das seções transversais das lajes. Esse dimensionamento usa, geralmente, toda a capacidade portante da seção transversal da peça, ou seja, dimensiona as seções transversais das peças de concreto armado no regime plástico. Apesar desse procedimento ser válido, esta não é a única alternativa de projeto.

O dimensionamento de estruturas que possui um comportamento plástico acentuado (caso das lajes usuais de concreto armado) pode ser feito baseado na Teoria Geral da Plasticidade, que apresenta variações em relação à sistemática apresentada. Como exemplos, podem ser citados a Teoria das Charneiras Plásticas e o dimensionamento de lajes cogumelo, pelo Método das Faixas Avançado de Hillerborg (análogo ao método das faixas apresentados na Norma de Concreto Armado).

Em muitos casos, o dimensionamento por um procedimento plástico pode trazer economia significativa em relação aos procedimentos elásticos de dimensionamento, como no caso da Teoria das Charneiras Plásticas; entretanto cuidados especiais devem ser tomados na verificação dos Estados Limites de Serviço e na ductilidade das peças.

Fases de Comportamento de uma Laje de Concreto Armado

O comportamento de uma laje de concreto armado depende do nível de carregamento que a solicita. Para determinados carregamentos de pequena intensidade, a Teoria das Placas em Regime Elástico descreve bem o comportamento da laje, mesmo considerando o material como isótropo e homogêneo. Essa é a fase elástica.

Quando o carregamento aumenta, a laje apresenta fissuras nas regiões dos maiores esforços solicitantes, diminuindo com isso a rigidez destas seções. Essa fase de fissuração poderia ser estudada pela Teoria das Placas em Regime Elástico, levando-se em conta a diminuição da rigidez da peça na zona fissurada. Porém, avaliar corretamente tal redução é muito difícil. Essa fase de comportamento, geralmente associada à condição de serviço da laje, é normalmente estudada pela Teoria das Placas em Regime Elástico. Devido à diminuição da rigidez das seções mais solicitadas, que gera uma redistribuição de esforços, este procedimento fornecerá esforços nas seções fissuradas um pouco maiores que os reais.

Continuando o aumento do carregamento, inicia-se a plastificação das seções mais solicitadas que, sendo seções sub-armadas (caso mais comum em lajes), passam a se deformar sem aumento sensível do momento fletor.

Com o desenvolvimento da plastificação, a estrutura acaba se tornando hipostática e se deforma livremente com qualquer acréscimo de carga. Nesse ponto, admite-se que a laje atingiu sua fase de ruína, desprezando o efeito de membrana que aumenta sua capacidade portante, mas que só aparece quando a laje apresenta deslocamentos suficientemente grandes, para mobilizar os esforços que atuam no plano da mesma.

A fase de plastificação e a de ruína possuem comportamento bem diferente daquele descrito pelo regime elástico. O estudo da fase de plastificação é bem mais complexo, já que existem zonas plastificadas, zonas fissuradas e zonas que ainda estão no regime elástico.  Ele pode ser feito, de modo aproximado, através de métodos numéricos que consigam modelar a não linearidade física do material, tais como: o Método das Diferenças Finitas ou dos Elementos Finitos.

Existem diversas maneiras de abordar o problema, cujos procedimentos vêm sendo geralmente implementados no Método dos Elementos Finitos e que dependem, muitas vezes, dos fenômenos estudados.

Já o estudo da fase de ruína da laje pode ser feito com relativa facilidade por meio da Teoria das Charneiras Plásticas que, entretanto, se preocupa exclusivamente com a fase de ruína sem fornecer informações sobre o comportamento da laje nas fases anteriores.

Quando a laje alcança sua fase de ruína, afirma-se que atingiu um Estado Limite Último e ela deve ser projetada de modo a possuir uma segurança adequada em relação a este estado. A Teoria das Charneiras Plásticas fornece as solicitações que ocorrem na laje nessa fase, de forma que  possa ser dimensionada. As hipóteses simplificadoras dessa teoria, necessárias a uma formulação matemática não muito complexa, possibilitam resultados mais próximos dos experimentais.

Já a verificação dos Estados Limites de Utilização devem ser feitos baseados, obrigatoriamente, em um procedimento que represente bem a fase de serviço, ou seja, provavelmente uma análise elástica.

Para entender melhor as fases de comportamento das estruturas de concreto armado, é importante conhecer o Diagrama Momento Fletor x Curvatura da seção transversal fissurada das peças submetidas à flexão simples (figura 1).

Dimens_elastico_plastico_lajes_a_Eb.

Figura 1 - Diagrama Momento Fletor x Curvatura de seção fissurada.

O diagrama apresentado corresponde a uma peça retangular submetida à flexão e dimensionada no Domínio 2 ou 3.

Verifica-se que para momentos fletores menores que o momento de fissuração da seção o comportamento é praticamente elástico. É possível representar essa fase pelo modelo do Estádio I, que imagina que os materiais trabalham elasticamente, inclusive o concreto submetido à tração.

Após a fissuração, o comportamento é bem representado pelo modelo do Estádio II, no qual  se admitem comportamentos elásticos para o aço e o concreto.

Nessas fases iniciais é comum utilizar valores de serviço para os materiais e, também, incluir a contribuição do concreto entre fissuras que faz com que a peça tenha um comportamento intermediário entre o modelo do Estádio I e II.

A partir de uma certa curvatura, o momento permanece praticamente constante com valor muito próximo do momento último da seção. É o Momento de Plastificação da seção. Como nessa fase a preocupação é com a capacidade portante máxima e redistribuições de esforços, é usual a utilização de valores de cálculo dos materiais.

Outro fator importante é a ductilidade das seções transversais. Essa ductilidade é medida pelo comprimento do patamar de plastificação do diagrama. Na flexão simples, posições da linha neutra mais elevadas, geralmente levam a seções mais dúcteis. Para uma determinada seção, o aumento da taxa de armadura abaixa a linha neutra e diminui a ductilidade da seção. Esse aspecto é mostrado na figura 2, que apresenta diagramas momento x curvatura de cálculo para uma seção de laje com várias taxas de armadura.

Dimens_elastico_plastico_lajes_b_Eb.

Figura 2 - Variação do Momento de plastificação com a taxa de armadura.

Existe uma grande faixa de dimensionamento (domínio 2 e parte do domínio 3) na qual as lajes possuem um comportamento plástico bem definido. Essas lajes são suficientemente dúcteis para que possa ser feito um dimensionamento plástico. Esses dimensionamentos são baseados nos Teoremas da Análise Limite da Teoria Geral da Plasticidade. Entretanto, as normas atuais exigem que seja verificada a ductilidade para os níveis de deformações plásticas de projeto.

Teoremas da Análise-Limite

A solução exata de um problema pela Teoria da Plasticidade Geral, na determinação da carga de ruína de uma estrutura em regime elasto-plástico, necessita satisfazer três condições:

1. A estrutura deve tornar-se hipostática com a plastificação provocada pela carga. Isso equivale a dizer que a estrutura deve formar uma configuração possível (às vezes designada por mecanismo cinematicamente admissível);

2.  As condições de equilíbrio devem ser satisfeitas;

3. Em nenhum ponto da estrutura pode-se ter esforço superior ao que aí origina a plastificação.

As hipóteses básicas para que as estruturas possam ser estudadas plasticamente são:

-Plasticidade perfeita (no caso das lajes, que tenham um patamar de plastificação, no diagrama Momento Fletor x Curvatura, bem definido e com comprimento suficiente);

-Os carregamentos atuantes aumentam sempre proporcionalmente entre si;

-Estruturas apresentam pequenos deslocamentos mesmo próximas da ruína.

Existem três teoremas na teoria geral da plasticidade que auxiliam na procura da solução exata:

Teorema da Unicidade : existe apenas uma única carga de colapso associada ao colapso da estrutura.

Teorema Estático (ou do limite inferior) : se existe um carregamento externo para o qual é possível encontrar  um campo de esforços solicitantes que satisfaça todas as condições de equilíbrio e, também, a condição de plastificação em todos os pontos (no caso momentos menores que o momento de plastificação), então esse carregamento é igual ou inferior ao proporcional, que provoca o colapso da peça. Também é chamado de Teorema a favor da segurança.

Teorema Cinemático (ou do limite superior) : para uma determinada configuração possível da laje (configuração que torna a laje hipostática) associada a um dado carregamento, existe um nº K , tal que o carregamento multiplicado por K satisfaz à condição de igualdade de energias desenvolvidas interna e externamente à laje. Esse valor de K é igual ou superior ao valor de K que leva a laje ao colapso. Também é chamado de Teorema contra a segurança.

A Teoria das Charneiras Plásticas deriva do Teorema Cinemático, no qual o valor de K encontrado para uma determinada configuração possível em estudo é sempre contra a segurança, a não ser que a configuração seja exatamente a configuração de ruína da peça. É necessário, portanto, que se  verifique,  dentre todas as configurações possíveis, qual a que oferece o menor valor de K, sendo esta a configuração de ruína.

No caso de lajes retangulares usuais de edifícios com carga uniformemente distribuída, as configurações de ruína são conhecidas e, portanto, o dimensionamento não apresenta qualquer incoveniente. Entretanto, alguns autores costumam apresentar configurações simplificadas que fornecem resultados contra a segurança, mas dentro de certos limites.

Também pode-se utilizar o Teorema Estático para dimensionar as lajes, que fornece soluções sempre a favor da segurança, mas nem sempre muito econômicas. O método estático, ou de Hillerborg, consiste em encontrar distribuições de esforços internos que estejam em equilíbrio com as cargas aplicadas e dimensionar a laje de modo que sua resistência, em cada ponto, seja suficiente para suportar estes esforços internos. Esse método tem uma grande flexibilidade e permite soluções simples em casos de geometrias e carregamentos complexos. Entretanto, para vários casos, não se sabe a priori se a solução encontrada é ou não econômica e qual é o nível de redistribuição de esforços necessário, para se chegar à distribuição de esforços imaginada. E para a laje ter a segurança adequada deve-se garantira sua  capacidade de redistribuição plástica.

Deve-se observar que a solução fornecida pela Teoria das Placas em Regime Elástico é uma solução em equilíbrio mas que, além disso, é a única que também é compatível, podendo-se garantir que nenhum ponto atinja a plastificação. Portanto, o Teorema Estático justifica o dimensionamento da laje com momentos calculados pelo regime elástico e com seções dimensionadas no Estádio III.

Os momentos encontrados por Marcus e a Analogia de Grelha são outros procedimentos que podem ser enquadrados no Teorema Estático.

Considerações Finais

Apesar das lajes de Concreto Armado possuírem um comportamento plástico, é possivel utilizar a teoria das Lajes em Regime Elástico e suas variações como a Analogia de Grelha e o Método dos Elementos Finitos, para fazer o seu dimensionamento. Esse procedimento pode não ser o mais econômico, mas o Teorema Estático afirma que a solução vai estar a favor da segurança.

O mesmo cálculo elástico pode ser usado para a verificação dos Estados Limites de Utilização desde que as cargas sejam devidamente ponderadas para se obter as Combinações de Serviço.

O dimensionamento elástico não é a única possibilidade de dimensionamento de lajes de Concreto Armado. Existem outras maneiras que podem ser mais econômicas, como a Teoria das Charneiras Plásticas. Entretanto, esse método deve ser usado com cuidado, uma vez que ele é baseado no Teorema Cinemático e se a configuração adotada para o dimensionamento da laje não for a configuração real de ruína, o resultado vai ser contra a segurança. A economia conseguida na armadura pode causar problemas nos Estados Limites de Serviço e, portanto, a verificação das condições de utilização devem ser feitas, obrigatoriamente, com uma outra análise que represente bem as condições de utilização.

Referências bibliográficas

tag(s): análise, Dimensionamento, Laje