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Assunto

Tradicionalmente, as lajes nervuradas sempre foram analisadas utilizando-se os mesmos procedimentos criados para lajes maciças, utilizando tabelas baseadas na Teoria da Elasticidade ou o processo de Marcus, por exemplo. Essa metodologia consta em diversas bibliografias e encontra respaldo na própria NBR 6118. Todavia, análises experimentais confirmam que isso não é válido, pois essa geometria de laje não consegue desenvolver os mesmos momentos de torção de uma laje maciça e, consequentemente, apresenta momentos fletores e deslocamentos maiores.

Este artigo analisará a modelagem de lajes nervuradas utilizando o processo da Analogia de Grelha, mostrando como a representação desse tipo de laje através do cruzamento de faixas com seção T é muito mais realista que o modelo tradicional e conduz a resultados bastante próximos dos experimentais. Este artigo é o nono da série "Análise de lajes de concreto armado". Não deixe de ler os   artigos anteriores já publicados.

Artigo

Conforme a  NBR6118 (1978), “são consideradas lajes nervuradas aquelas cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte, de modo a tornar plana a superfície externa, poderão ser calculadas de acordo com o item 3.3.2.1 e 3.3.2.3 a 3.3.2.8, desde que se observem as prescrições do item 6.1.1.3”.

O mesmo item ainda diz: “As nervuras deverão ser verificadas a cisalhamento, como vigas se a distância livre entre elas for superior a 50 cm e como laje em caso contrário”.

O item 3.3.2.1 diz que: “As lajes poderão ser calculadas como placa no regime elástico com os valores do módulo de deformação e do coeficiente de Poisson prescritos em 8.2.5 e 8.2.6, permitindo-se processos simplificados devidamente justificados.”

A NBR-6118 estabelece certas limitações para que a laje possa ser considerada como laje nervurada dentre elas destacam-se :

  • A distância livre entre as nervuras não deve ultrapassar 100 cm;

  • A espessura das nervuras não deve ser inferior a 4 cm e a mesa ou revestimento da laje não deve ser menor que 4 cm nem a 1/15 da distância livre entre as nervuras.

Analise_de_nervuradas_por_grelha(a)_Eb.

Figura 1 - Seção transversal de uma laje nervurada

O texto conclusivo do Projeto de revisão da NBR 6118, apresentado em agosto de 2001,  prescreve o seguinte para as lajes nervuradas no item 14.7.7 :

“Lajes nervuradas são as lajes moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte.

As lajes com nervuras pré-moldadas devem atender adicionalmente às prescrições de norma brasileira específica.

Todas as prescrições anteriores relativas às estruturas de elementos placa podem ser consideradas válidas desde que sejam obedecidas as condições do item 13.2.4.2. Na falta de resultados mais precisos, a rigidez à torção deve ser considerada nula na determinação dos seus esforços solicitantes e deslocamentos.

Quando essas hipóteses não forem verificadas deve-se analisar a laje nervurada considerando a capa como laje maciça apoiada em grelha de vigas.”

O item 13.2.4.2 deste projeto de revisão diz o seguinte:

"A espessura da mesa, quando não houver tubulações horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15 da distância entre nervuras e não menor que 3 cm.

O valor mínimo absoluto deve ser 4 cm quando existirem tubulações embutidas de diâmetro máximo 12,5 mm.

A espessura das nervuras não deve ser inferior a 5 cm.

Nervuras com espessura menor que 8 cm não devem conter armadura de compressão.

Para o projeto das lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintes condições:

  • Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 60 cm, pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do  cisalhamento da região das nervuras, permite-se  à  consideração dos critérios de laje;

  • Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 60 cm e 110 cm, exige-se a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite-se essa verificação como lajes se o espaçamento entre eixos de nervuras for menor que 90 cm e a espessura média das nervuras for maior que12 cm;

  • Para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura.

As limitações previstas pela norma têm por objetivo eliminar os casos em que a laje nervurada teria que ser calculada como grelha plana, necessariamente. Nos casos em que a laje obedece às limitações impostas pela norma, a laje poderia ser calculada como maciça por qualquer procedimento clássico ou simplificado, plenamente justificado.

No entanto com os recursos de cálculo disponíveis atualmente, pode-se calcular todas as lajes nervuradas por analogia de grelha ou pelo método dos elementos finitos com resultados mais próximos ao comportamento da estrutura real.

POLILLO (1977) apresenta um exemplo de cálculo de uma laje nervurada quadrada que demonstra como o cálculo feito como laje maciça, sem a consideração correta da rigidez a torção pode levar a resultados imprecisos.

A laje do exemplo tem 8,5 m de lado, simplesmente apoiada, e é submetida a um carregamento distribuído de 7,64 kN/m². Os  resultados para os momentos fletores máximos por ele obtidos no centro da laje são:

Pelo Processo de Marcus:      Mx = My = 20,14 kN.m/m

Calculado como uma grelha:   Mx = My = 34,50  kN.m/m

Analise_de_nervuradas_por_grelha(b)_Eb.

Figura 2  - Laje nervurada quadrada com 8,5 x 8,5 m

Analise_de_nervuradas_por_grelha(c)_Eb.

   Figura 3 -  Modelo de laje nervurada por analogia de grelha

A diferença entre os momentos máximos calculados pelo processo de Marcus e a teoria das grelhas é de 70% . Esta diferença deve-se ao fato do processo de Marcus considerar a laje nervurada como uma laje maciça. A maioria das tabelas de Marcus, apresentada nas bibliografias, é calculada com uma redução dos momentos fletores, através de um coeficiente de correção para que os valores se aproximem da teoria da elasticidade. Uma laje nervurada possui uma rigidez à torção menor do que uma laje maciça com a mesma altura. Esta redução na rigidez faz com que os momentos de torção sejam menores do que os calculados para uma laje maciça pela teoria da elasticidade. Por conseqüência, de acordo com a equação de equilíbrio das placas, os momentos fletores e os deslocamentos sofrerão acréscimos significativos.

A mesma laje do exemplo mostrado acima será calculada por Analogia de Grelha com diversos parâmetros dos coeficientes de rigidez. No primeiro modelo, cujos resultados estão na tabela abaixo, a rigidez das faixas será calculada com o momento de inércia polar proporcional ao momento de inércia à flexão.

       Analise_de_nervuradas_por_grelha(d)_Eb.

Resultados da análise de Analogia de grelha de uma laje nervurada - G/Ec = 04

O segundo modelo, cujos resultados estão na próxima tabela, a rigidez das faixas foi calculado com o momento de inércia polar calculado com a equação 5.6 e com as barras com as características geométricas da seção T entre cada nervura.

Analise_de_nervuradas_por_grelha(e)_Eb.

                  Resultados da análise por Analogia de Grelha de uma laje nervurada, Jp das faixas calculado com a equação 5.6

Como pode ser observado, para uma rigidez à torção nula, os dois modelos apresentam os mesmos resultados. Porém, para os demais valores de rigidez, os resultados com Jp calculado pela equação 5.6, apresentam-se mais elevados para os momentos e flechas. Isso deve-se ao fato de que a rigidez à torção das faixas, como seção T, ser mais baixa do que a obtida pela relação Jp/Iyy .

A tabela abaixo apresenta os resultados dos momentos e das flechas da laje nervurada calculada pela Teoria da Elasticidade através das tabelas de Bares, com dois valores de coeficiente de Poisson. Para o cálculo da flecha máxima na laje, foi utilizada a altura total da laje, ou seja 24 cm. Com a tabela de Bares o cálculo da flecha máxima é feito com o coeficiente ws através da fórmula:

Analise_de_nervuradas_por_grelha(f)_Eb

Os resultados para as flechas utilizando a altura total da laje, são baixos, comparados com aqueles obtidos pela Analogia de Grelha.

Analise_de_nervuradas_por_grelha(g)_Eb

Resultados pela Teoria da Elasticidade numa laje nervurada - altura total da laje h=24 cm

Resultados melhores podem ser obtidos adotando-se para a altura da laje, considerada como maciça, um valor equivalente. Este valor de altura equivalente, pode ser calculado através da transformação da seção T de uma nervura em uma seção retangular equivalente, com uma largura igual à distância entre eixos de cada nervura, com o mesmo momento de inércia.

O momento de inércia da seção T é igual a 13200 cm4 , uma seção retangular com uma largura  de 50 cm, possui o mesmo momento de inércia com uma altura equivalente igual a 14,7 cm. Com esse valor as flechas calculadas, apresentam valores próximos da Analogia de Grelha calculada pelo primeiro modelo.

Analise_de_nervuradas_por_grelha(h)_Eb.

Resultados pela Teoria da Elasticidade numa laje nervurada - altura equivalente heq = 14,7 cm

 

Segundo HAHN (1972), as normas alemãs exigem que o cálculo de lajes nervuradas, cujas armaduras estão cruzadas, seja feito com o coeficiente de redução à torção de Marcus igual a um. Isto significa que a rigidez à torção da placa é desprezada.

A rigidez à torção não se reduz por completo, mas como demonstram os resultados da tabela 5.55, são tão pequenos que a sua influência pode ser desprezada no cálculo.

 Portanto, o cálculo de lajes nervuradas não pode ser corretamente analisado pelas teorias elásticas, considerando a laje como maciça, mesmo que se utilize uma altura equivalente reduzida para considerar o fato das nervuras serem seções T. Nesse caso, a Analogia de Grelha utiliza os parâmetros de rigidez da própria seção T e parece ser um modelo mais conveniente, pois apresenta resultados a favor da segurança.

O modelo de Analogia de Grelha, no caso de lajes nervuradas, também introduz algum erro, contra a economia, ao considerar a capa de concreto da laje como parte da viga T e, portanto, desconectadas entre si, permitindo um deslocamento relativo que não corresponde bem à realidade,  levando a resultados superiores aos da laje real, porém como já foi citado, a favor da segurança.

Analise_de_nervuradas_por_grelha(i)_Eb.gif

Faixas da laje nervurada

Análises mais precisas, utilizando um modelo de elementos finitos para a capa de concreto e de grelha para as vigas das nervuras, podem ser feitas para obter resultados mais próximos do comportamento das lajes das estruturas reais. Esses resultados poderiam ser comparados com aqueles de testes de laboratório em lajes nervuradas.

Referências bibliográficas

 

Mais Informações:

"Modelos de análise de lajes de concreto armado"

"Análise de Placas pela Teoria da Elasticidade"

"Dimensionamento elástico e plástico de lajes"

"Análise de lajes pelo Método das faixas de Hillerborg"

"Análise de lajes pelo Método das Charneiras Plásticas"

"Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelha - Conceitos Iniciais"

"Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelha - Influência dos Parâmetros de Rigidez"

"Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelha - Influência da Flexibilidade dos Apoios"

tag(s): análise, Laje