Aplica-se às versões: EBv5, EBv5Gold, EBv6, EBv6Gold, EBv7, EBv7Gold

Assunto

Este trabalho faz uma análise do processo simplificado introduzido pela NBR 6118/2003 para determinação dos efeitos locais de 2ª ordem em pilares de concreto armado denominado ”método do pilar padrão com rigidez x aproximada”. Apresenta-se aqui uma abordagem direta, evitando o procedimento iterativo sugerido pela norma, e uma análise dos resultados obtidos em função do índice de esbeltez e da excentricidade de 1ª ordem.

Artigo

 

1 Introdução

A NBR 6118/2007, em seu item 15.8.3.3 (Métodos aproximados), afirma que “a determinação dos efeitos locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados, como o do pilar padrão e do pilar padrão melhorado”. Para tal, explicita dois processos:

  • Método do pilar padrão com curvatura aproximada (15.8.3.3.2);

  • Método do pilar padrão com rigidez x aproximada (15.8.3.3.3).

A princípio, ambos são válidos dentro dos mesmos limites: ? = 90, seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. Na verdade, o método do pilar padrão com rigidez x aproximada pressupõe seção retangular constante, o que o torna válido em uma faixa mais restrita que o método do pilar padrão com curvatura aproximada.

Com isso, seria possível concluir que qualquer um dos processos poderia ser utilizado. Todavia, ambos são definidos para a flexão composta normal. No item 15.8.3.3.5 (Método do pilar padrão para pilares de seção retangular submetidos à flexão composta oblíqua), a Norma afirma que “quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta oblíqua for menor que 90 nas duas direções principais, permite-se aplicar o processo aproximado descrito em 15.8.3.3.3 simultaneamente em cada uma das duas direções”. Assim, na situação geral de flexão composta oblíqua, à qual estão submetidos, em maior ou menor grau, todos os pilares de uma edificação, o processo a utilizar deve ser o da rigidez x aproximada, sendo este o objeto do presente estudo.

2 Método do pilar padrão com rigidez x aproximada

Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com ? = 90, seção retangular constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo.

A não-linearidade geométrica deve ser considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física deve ser levada em conta através de uma expressão aproximada da rigidez.

O momento total máximo no pilar é dado por:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(a)_eb

sendo o valor da rigidez adimensional x dado aproximadamente pela expressão:

  Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(b)_eb

A NBR 6118/2003 sugere um procedimento iterativo para aplicação deste processo, afirmando que “usualmente duas ou três iterações serão suficientes quando se optar por um cálculo iterativo”.

3 Exemplo proposto

Será utilizado aqui o mesmo exemplo de dimensionamento de um pilar (Figura 1) feito por SCADELAI (2003), utilizando-se o método do pilar padrão com rigidez aproximada.

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(cc)_eb.

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(c)_eb.

Figura 1 - Detalhes do pilar

Pode-se calcular:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(d)_eb.

Considerando o pilar biapoiado, com momentos aplicados nas duas extremidades, tem-se a configuração indicada na Figura 2. Para este exemplo, serão adotados momentos nas extremidades superior e inferior (MA e MB, respectivamente), com valor em módulo igual ao valor do momento mínimo.

Portanto, o índice de esbeltez ?. do pilar em estudo é 90. Será considerado o pilar biapoiado e sem carregamento transversal, no cálculo de alpha.

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(e)_eb.

Figura 2 - Momentos atuantes no pilar

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(f)_eb.

No artigo de SCADELAI (2003), foi calculado inicialmente o momento total pelo método do pilar padrão com curvatura aproximada, obtendo-se o valor de Md,tot=106,8 kN.m. Na aplicação do método do pilar padrão com rigidez aproximada, este valor foi adotado como estimativa inicial do momento total.

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(g)_eb.

Para a segunda iteração, pode-se considerar como estimativa razoável a média entre os valores encontrados:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(h)_eb.

Para a terceira iteração, SCADELAI (2003) utilizou novamente a média entre os valores encontrados (86,10 e 166,26), obtendo Md,tot3=126,18 kN.m. Partindo deste valor, encontrou um novo Md,tot4 = 85,63 kN.m e concluiu que o processo estava divergindo ao invés de convergir.

4 Processo iterativo correto

Na verdade, pela relação entre as expressões Eq. 1 e Eq. 2, pode-se facilmente concluir que não há possibilidade do processo não convergir. A questão está na forma de aplicação do processo iterativo. Na primeira iteração, partiu-se de um valor arbitrário para Md,tot = 106,8 kN.m, obtendo um novo Md,tot2 = 65,39 kN.m. Isto define um limite inferior e outro superior para o resultado esperado. Para a segunda iteração, um valor razoável é a média, ou seja, Md,tot3 = 86,10 kN.m.

Partindo do valor médio de 86,10 kN.m, obteve-se novo Md,tot3 = 166,26 kN.m. O equívoco está em adotar diretamente este novo valor como parâmetro para a próxima iteração. Como este se situa fora da faixa inicial (65,39 -106,8), nitidamente não se obterá convergência.

O procedimento correto consiste em fazer uma pesquisa binária no intervalo. Dado o intervalo de pesquisa  (65,39 -106,8), com seu valor médio 86,10, ao obter uma resposta superior à média, deve-se concluir simplesmente que o valor desejado encontra-se na parte superior do intervalo, ou seja, na faixa (86,1 -106,8). Para a próxima iteração, uma estimativa correta deveria estar dentro do intervalo encontrado, podendo-se usar o valor médio 96,45.

Tem-se, portanto, o seguinte processo iterativo:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(hh)_eb.

Tabela 1 - Resultado das iterações

Pode-se notar que, embora se tenha encontrado um valor com suficiente precisão (1,37%) de 95,16 na 5ª iteração, este erro ainda flutua ligeiramente acima deste valor até convergir para o valor final de Md,tot = 95,41 kN.m.

5 Processo direto de solução

Esta abordagem iterativa é uma sugestão da Norma mas não é fundamentalmente necessária à aplicação do processo, uma vez que o termo dependente (Md,tot) aparece apenas em funções polinomiais que podem ser resolvidas diretamente.

Substituindo a Eq. 2 na Eq. 1 e rearranjando, obtém-se:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(i)_EB

Onde escreve-se, por simplicidade:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(j)_EB

Resolvendo a equação do segundo grau, obtém-se:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(k)_EB.

Onde escreve-se, por simplicidade:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(l)_EB

A Eq. 5 fornece uma forma direta de aplicar o método do pilar padrão com rigidez aproximada, sem a necessidade de utilizar procedimentos iterativos.

6 Excentricidade de 2ª ordem

Uma forma mais usual de calcular os efeitos locais de 2ª ordem é a determinação de uma “excentricidade adicional de 2ª ordem” (e2). Pode-se mostrar que essa é uma forma mais compacta de representar a Eq. 5, obtendo os mesmos resultados.

Assim, dividindo os dois lados da Eq. 5 por Nd, tem-se:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(m)_eb.

Com isso, pode-se obter uma expressão em função apenas das excentricidades:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(n)_eb.

Onde:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(o)_o

Definindo a excentricidade de 2ª ordem de forma usual:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(p)_EB.

Pode-se reescrever a Eq. 8 para obter e2:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(q)_EB.

Voltando ao exemplo proposto, pode-se calcular o momento total (1ª + 2ª ordem) utilizando diretamente a Eq. 12 ao invés do processo iterativo.

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(r)_EB

Obtido o valor de e2, pode-se facilmente obter o momento total:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(s)_EB.

Pode-se notar que este é o mesmo valor obtido pelo processo iterativo, desconsiderando as diferenças nas aproximações numéricas, mas de uma maneira bem mais simples.

7 Análise paramétrica

Embora a Eq. 12 já permita a aplicação do método do pilar padrão com rigidez aproximada da maneira direta, pode-se ainda sintetizar um pouco mais essa expressão, colocando-a em termos de excentricidades relativas (e/h), a fim de analisar os resultados que podem ser obtidos:

Definindo:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(s)_EB.

Pode-se escrever:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(u)_EB.

Ou ainda:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(v)_EB.

A Eq. 16 representa a dependência entre os valores de e2 e e1 (efeitos de 2ª ordem em relação aos efeitos de 1ª ordem) em função apenas do parâmetro ?, tendo sido todos os demais eliminados pela manipulação algébrica.

Pode-se notar que a expressão tem resultado válido para qualquer valor do ? ou e1 (supostos positivos), o que prova que o processo sempre será convergente.

O gráfico a seguir apresenta os valores obtidos para diversos índices de esbeltez:

Método do pilar padrão com rigidez aproximada

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(w)_EB

Pode-se observar como as excentricidades de 2ª ordem são influenciadas pelo valor da excentricidade de 1ª ordem. Desenvolvendo de maneira semelhante a expressão de Md,tot no método do pilar padrão com curvatura aproximada, pode-se encontrar como excentricidade relativa de 2ª ordem:

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(x)_EB

Esta expressão não é função da excentricidade de 1ª ordem, mas sim da carga normal adimensional n. Assim, não é possível comparar diretamente as duas expressões, mas pode-se também visualizar a variação em função da esbeltez.

Método do pilar padrão com rigidez aproximada

Metodo_pilar_padrao_com_rigidez_aproximada(y)_EB.gif

Embora não seja possível sobrepor os dois gráficos, pode-se verificar que, para o caso mais crítico, onde ? = 90, o método do pilar padrão com rigidez aproximada resulta em valores variando entre 0,222 e 0,368, enquanto que o método do pilar padrão com curvatura aproximada resulta em valores variando entre 0,225 e 0,338. Pode-se supor que, nos projetos correntes, a diferença encontrada na aplicação de um ou outro processo será bastante pequena.

8 Conclusões

Pode-se concluir que o processo do pilar padrão com rigidez aproximada, preconizado pela NBR 6118/2007, pode ser facilmente resolvido sob forma direta ao invés de iterativa. Além disso, pode ser escrito na forma de uma excentricidade adicional de 2ª ordem (e2), conceito bastante familiar no meio técnico.

Através de uma manipulação adequada, pôde-se montar um ábaco que relaciona a excentricidade relativa de 1ª ordem (e1/h) com a excentricidade relativa de 2ª ordem (e2/h), o que também pode facilitar a aplicação do processo em verificações manuais.

9 Referências

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003). NBR 6118 - Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2003.

SCADELAI, Murilo A. & PINHEIRO, Libânio M. Dimensionamento de Pilares de Acordo com a Nova NBR 6118. V Simpósio EPUSP sobre estruturas de concreto, São Paulo - SP, 2003.

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